137所求概率为P＝1－2＝8. 答案：A 二、填空题
6．记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为________．
解析：作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就21是图中△OAB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为＝.
4π2π
3B. 41D. 4
1
答案： 2π
7．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是________(不作近似计算)．
解析：注意到油滴整体落在铜钱边界内，所以油滴的球心所在区域是以2－0.1＝1.9 cm为半径的圆，而要使油滴整体正好落入孔中，则油滴的球心所在区域是以1－0.2＝0.8 cm为0.82边长的正方形，故所求概率为P＝. 2＝π·1.9361π
答案：
361π
8.(2015年济南一模)如图，长方体ABCD -A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A -A1BD内的概率为________．
解析：设事件M＝“动点在三棱锥A -A1BD内”， V三棱锥A -A1BD
P(M)＝ V长方体ABCD -A1B1C1D1＝
V三棱锥A1 -ABD
V长方体ABCD -A1B1C1D1
1
AA·S31△ABD
＝ V长方体ABCD -A1B1C1D111
AA1·S矩形ABCD321
＝＝. V长方体ABCD -A1B1C1D161答案： 6三、解答题
9．(2015年济南调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解析：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；
其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件． 211
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为. 1266
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.
－1≤x≤2
基本事件空间为Ω＝x，y
－1≤y≤1
－1≤x≤2，
－1≤y≤1，B＝x，y2x＋y<0，
x≠2y
，
113×＋×2μ2221
，则由图可知，P(B)＝＝＝， μ33×2
BΩ
1
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
3
x＋y－8≤0，
10．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设点(a，b)是区域x>0，内
y>0的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
2b
解析：因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在
a2b
区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
a
依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为 a＋b－8≤0，
a，ba>0，
b>0
.
2b
≤1，a构成所求事件的区域为a，b
a>0，b>0
.
a＋b－8＝0，168由a得交点坐标为3，3， b＝，218
×8×231
所以所求事件的概率为P＝＝.
13×8×82
B组 高考题型专练
1．(2015年韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x－1≥0的概率为( )
3A. 41C. 4
1B. 21D. 3
13，2，长度为，P解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x－1≥0的只有223
23＝＝. 24
答案：A
2．在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( )
1A. 83C. 4
1B. 47D. 8
解析：∵a∈[0,2]，∴f ′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，则(1＋a＋b)(1＋a－b)≥0.由题意7
2717
知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－×1×1＝，∴所求概率P＝＝，
2248故选D.
答案：D
3．一艘轮船从O点的正东方向10 km处出发，沿直线向O点的正北方向10 km处的港口航行，某台风中心在点O，距中心不超过r km的位置都会受其影响，且r是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( )
A.2－1
2
B．1－
2 2
C.2－1 D．2－2
解析：以O为圆心，r为半径作圆，易知当r>52时，轮船会遭受台风影响，所以P＝
10－5210－52
＝＝2－2.
510－5
答案：D
4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为( )
A.2 5
2B. 532D. 10
3C. 5
|1－2＋a||a－1|
解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤ 2，解得－
2242
1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.
105
答案：B
5．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
7A. 81C. 2
3B. 41D. 4
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部．
要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，S阴影3π23
其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝2＝.
S矩形4π4
答案：B
6．(2015年青岛模拟)如图是某算法的程序框图，若任意输入[1,19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为________．
解析：第一次循环：x变为2x－1，n＝2；第二次循环：x变为2(2x－1)－1，n＝3；第三次循环：x变为2[2(2x－1)－1]－1，n＝4，不满足循环条件，此时输出2[2(2x－1)－1]－1，122
由2[2(2x－1)－1]－1>49，得x>7，所以所求概率为＝.
183
2答案： 3
7．(2015年厦门模拟)记曲线y＝x2与y＝x 围成的区域为D.若利用计算机产生(0,1)内的两个均匀随机数x，y，则点(x，y)恰好落在区域D内的概率等于________．
2
解析：曲线y＝x与y＝x所围成的区域如图阴影部分所示，其面积为0(x－x)dx＝
2
1
1
321112x3－1x3|1
＝. 0 ＝－＝，∴所求的概率P＝3233331×13
1
答案： 3
8.如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，则过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率是________．
解析：弦长不超过1，即|OQ|≥过1}．
3
，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超2
3×223
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝. 22∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－答案：1－
3
2
3. 2
