2014年株洲市中考数学试卷及答案分析(Word解析版)

绝密★启用前

株洲市2014年初中毕业学业考试

数学试题及解答

时量：120分钟 满分：100分

注意事项：

1、答题前，请按要求在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。 2、答题时，切记答案要填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效。 3、考试结束后，请将试题卷和答题卡都交给监考老师。

姓 名 准考证号

选择题：答案为A D D B C C B C

一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共8小题，每小题3分，共24分） 1、下列各数中，绝对值最大的数是

A、－3 B、－2 C、0 D、1 2、x取下列各数中的哪个数时，二次根式x3有意义

A、－2 B、0 C、2 D、4 解：本题变相考二次根式有意义的条件 3、下列说法错误的是 A、必然事件的概率为1

B、数据1、2、2、3的平均数是2 C、数据5、2、－3、0的极差是8

D、如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖 4、已知反比例函数y

k

的图象经过点（2,3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上x

的是 A、（－6,1） B、（1,6） C、（2，－3） D、（3，－2） 解：本题主要考查反比例函数三种表达中的xyk

5、下列几何何中，有一个几何体的主视图与俯视图形状不一样，这个几何体是

正方体圆柱圆椎 球　A　B2x106、一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是

x50　CDA、4 B、5 C、6 D、7

解：分析本题主要考查学生解一元一次不等式的能力及找特解的能力。

7、已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四

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种选法，其中错误的是

A、选①② B、选②③ C、选①③ D、选②④ 解：分析本题主要考查学生由平行四边形判定要正方形的判定方法 答案：选B

8、在平面直角坐标系中，孔明做走棋游戏，其走法是：棋子从原点和，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步走1个单位„„依此类推，第n步的是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数是1时，则向右走1个单位，当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当他走完第100步时，棋子所处位置的坐标是： A、（66,34） B、（67,33） C、（100,33） D、（99,34） 解：本题主要考查学生对信息的分类 在1至100这100个数中：

（1）能被3整除的为33个，故向上走了33个单位

（2）被3除，余数为1的数有34个，故向右走了34个单位 （3）被3除，余数为2的数有33个，故向右走了66个单位 故总共向右走了34＋66＝100个单位，向上走了33个单位。 答案选C

二、填空题（本题共8小题，每小题共3分，共24分） 9、计算：2mm＝

解：本题主要考查：同底数幂的乘法法则。答案2m

10、根据教育部统计，参加2014年全国高等学校招生考试的考生约为9390000人，用科学记数法表示9390000是 。

解：本题主要考查：科学记数法的表示方法 9.3910

11、如图，点A、B、C、都在圆O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°， 那么∠ACB的大小是

解：本题主要考查：同弧所对的圆心角与圆周角的大小关系 过程略 28°

12、某校根据去年初三学生参加中考的数学成绩的等级，绘制成如图的扇形统计图，则图中表示A等级的扇形的圆心角的大小为

解：本题主要考查扇形统计图中得到信息，即总人数为60÷20%＝300人，然后计算出A等级的百分比：90÷300×100%＝30%，再计算圆心角为：360°×30%＝108°

C61028其余等级OA等级90人B等级35%C等级60人20%BA第11题图第12题图京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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13、孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，≈0.30，tan70°≈2.7475）

解：本题主要考查学生对三角函数的边角关系的运用能力。给出草图，要求AC，

tan200ACBCAAC即：＝0.30

500AC＝182米14、分解因式：x23x(x3)9＝ 。

200C500米B解：本题的目的主要是让学生用分组分解法。但也可以去括号后，进行因式分解（利用配方或十字相乘）

15、直线yk1xb1(k10)与yk2xb2(k2＜0)相交点（－2,0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1b2＝

解：本题考查学生对点的坐标与它到两轴的距离的理解。 交点到y轴的距离为2，面积为4，故底边长为4，b1b2＝4

16、如果函数y(a1)x3x取值范围是 解法一：

2a5的图像经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的a1y(a1)x23xa5经过平面直角坐标系的四个象限 a1a52∴y(a1)x3x需满足下列两条件：

a1（1）它与x轴有两个交点

a520 即：34(a1)a111解之得：a

4由于ayOx1130，给出草图。 ，故抛物线的对称轴x42(a1)（2）抛物线与y轴的交点纵坐标＞0

a50 a1解之得：a1或a5 综上可知：a5

即：解法二：

y(a1)x23xa5经过平面直角坐标系的四个象限 a1京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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∴y(a1)x3x2a5需满足下列两条件： a1（1）它与x轴有两个交点 即：34(a1)解之得：a2a50 a111 42（2）方程(a1)x3x即：x1x20

a5＝0的两根符号相反（分居在原点的两侧，即一正，一负） a1a50 a1解之得：a1或a5 综上可知：a5

即：

三、解答题（本大题8小题，共52分）

17、（本题满分4分）计算：16＋（3)0tan450

4x213(x1)，其中x2 18、（本题满分4分）先化简，再求值：

x12

19、（本题满分6分）我市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”，根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计前三行的数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的，请回答下列问题：

（1）统计表中a＝ ，b＝ ；

（2）统计表后三行中，哪一个数据是错误的？正确的值是多少？

（3）株洲市决定从炎陵县的4位“最有孝心的美少年”任选两位作为市级形象代言人，A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？ 区域 炎陵县 茶陵县 攸县 醴陵市 株洲县 株洲城区 频数 4 5 频率 a 0.125 0.15 0.2 0.125 0.25 京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

b 8 5 12 京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学辅导补习班

解：（1）由于前三行的数据都是正确的，故选择茶陵数据作为计算依据，求出总人数为： 5÷0.125＝40，故a＝4÷40＝0.1；b＝40×0.15＝6 （2）株洲城区的频率是错误的：12÷40＝0.3

（3）设炎陵县的4人，分别为A、B、C、D，画出树状图：

ABCD 第一人 第二人BCDACDABDABC 符合∨故P＝

21＝ 126∨ 20、（本题满分6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：

（1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； （2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； （3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； （4）下山用了1个小时。

根据上面信息，他作出如下计划： （1）在山顶浏览1个小时； （2）中午12：00回家吃中餐。

若依据以上信息和计划登山游玩，请问孔明同学应该在什么时间从家里出发？ 解：分析此题信息量极大，不是常见的应用题，需要进行相关的整理。 由（1）得：V下＝（V上＋1）千米每小时

由（2）得：S上＋1＝S全（S全表示到山顶的距离），T上＝2小时 由（3）得：S下＋2＝S全（S全表示到山顶的距离） 由（4）得：T下＝1小时 由上可知：：S下＋2＝S上＋1① 涉及公式：V＝ST

S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝（V上＋1）×1 代入①得： （V上＋1）×1＋2＝V上×2＋1

解得：V上＝2千米每小时，V下＝3千米每小时，S全＝5千米 （二）计算计划所花费的时间： T计划上＝S全÷V上＝52＝小时 T计划下＝1小时 浏览1小时 总共用时＝

5251＋1＋1＝4小时＝4小时30分钟 22（三）计算出发时间

12：00－4小时30分钟＝7：30 答：他应在7：30出发。

若对（3）给的信息若理解为：他在上山2小时的位置返回题目的解答如下：

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解：

（一）计算：上，下山速度V上、V下及到山顶距离S全 由（1）得：V下＝（V上＋1）千米每小时

由（2）得：S上＋1＝S全（S全表示到山顶的距离）T上＝2小时 由（3）得：S下＋3＝S全（S全表示到山顶的距离） 由（4）得：T下＝1小时 由上可知：：S下＋3＝S上＋1① 涉及公式：V＝ST

S上＝V上×T上＝V上×2；S下＝V下×T下＝V下×1＝（V上＋1）×1 代入①得： （V上＋1）×1＋3＝V上×2＋1

解得：V上＝3千米每小时，V下＝4千米每小时，S全＝7千米 （二）计算计划所花费的时间：

7小时 35T计划下＝1÷V下＋1＝小时

4T计划上＝S全÷V上＝浏览1小时 总共用时＝

757＋1＋＝4小时＝4小时35分钟 3412（三）计算出发时间

12：00－4小时35分钟＝7：25 答：他应在7：25出发。

21、（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程(ac)x22bx(ac)0，其中a、b、

c分别是△ABC的三边长。

（1）如果x1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。 解：（1）利用一元二次方程解的意义， 将x1代入原方程得：

ac2bac0，即可得：ab 故△ABC是等腰三角形。

（2）考查一元二次方程的根与判别式的关系： 由已知可知：△＝(2b)4(ac)(ac)0 即：4b4(ac）0 可得：bca

故△ABC是直角三角形。

（3）考查等边三角形的三边相等，即abc 故原方程可化为：2ax2ax0 解之得：x10,x21

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22222222京翰初中家教——专业对初中学生开设初三数学辅导补习班

22（本题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF） A（1）求证：△ACE≌△AFE （2）求tan∠CAE的值。 解：（1）考查学生对全等三角形的判定的运用

F

B（2）考查学生对全等三角形的性质运用，三角函数的运用能力 CE第22题图设：BF＝a，则AF＝AC＝2a，AB=3a 由勾股定理可知：CB＝5a

在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan∠B=

AC2a25 BC55aEFEF25 FBa5在Rt△EFB中，∠EFB＝90°，tan∠B=

得到：EF＝25a 525a 5

由（1）知：CE＝EF＝

25aCE55在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，tan∠CAE＝ AC2a5

23、（本题满分8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC， （1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）

（2）设∠AOB＝α，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（如

C图3） CC

AAA MN

OPOQQBBPOQ B 图1图2图3京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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解：（1）如下图连结OA， ∵AB是圆O的切线

∴OA⊥BA，∠OAB≒90°

∵Rt△ABO中，OA＝1，OB＝2 ∴AB＝3 POQBCACAE∴△ABC为边长为3的等边三角形 ∴∠ABE≒60°

过点A作AE⊥BC于点E

∵Rt△ABE中，AB＝3，∠ABE≒60° ∴AE＝

图1B3 211333 BC×AE＝×3×＝2224∴S△ABC＝

（2）这一问主要考查学生对线段AB与圆O只有一个交点所在位置的理解： 可以看出，当AB是圆O的切线时，∠AOB最大，此时∠AOB≒60° 然后随着A点靠近Q

点，∠AOB越来越小，最小时，就是A与Q重合，此时∠AOB≒0° C故0°∠AOB60°

C1

A A1

POQB

图1（3）主要考查学生思路：垂径分弦、分弧，及弧与圆心角、圆周角的关系及相似的运用 连结AP，QM

C∵AO⊥PM于点N ∴AP＝AM

1∠POM， 21∵∠MQP＝∠POM

2∴∠AOP＝∴∠AOP＝∠MQP ∴AO∥MQ ∵OQ＝QB

PANOMQB1∴AM＝BM＝AB

2∵△ABC为等边三角形

图3京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

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∴CM⊥AB

∵∠MQB＋∠MQP＝180° ∠PAB＋∠MQP＝180° ∴∠PAB＝∠MQB 在△BAP与△BQM中 ∵∠PAB＝∠MQB ∠MBQ＝∠PBA ∴△BAP∽△BQM ∴

CBABP BQBMAMB即：BA×BM＝BP×BQ

12∴BA31 2∴BA=6 ∵Rt△BMC中，∠BMC＝90°，BM＝

16AB＝，AB＝6 22∴CM=

32 2224、（本题满分10分）已知抛物线yx(k2)x5k22和直线y(k1)x(k1) 4（1）求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）抛物线与x轴交于点A、B，直线与x轴点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、

yx2、x3，求x1x2x3的最大值；

（3）如果抛物线与与x轴交于点A、B在原点的右边 ，直线与x轴点C在原点的左边，又抛物线、直线分别 交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且

GECAGECGAB，求抛物线的解析式。

解：（1）此问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 ∵x(k2)x2DCOABx5k2＝0的判别式△＝ 4

∴无论k取何实数值，抛物线与x轴有两个不同的交点

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（2）主要考查学生对直线与抛物线与x轴交点横坐标与方程的关系、根与系数的关系及二次函数的最大值的求法。

∵y(k1)x(k1)2与x轴点C的横坐标为：(k1)

yx2(k2)x的两个根

5k25k22＝0与x轴交于点A、B的横坐标为方程：x(k2)x445k2 45k2571k2k ∴x1x2x3=(k1)44429∴x1x2x3最大值为：

80∴x3＝(k1)，x1x2

（3）此题考查了：从CAGECGAB到比例式，然后再由比例式进行变形得到相似，然后得到平行，通过平行得比例式从而求解出函数解析式： ①证明：AD∥BE ∵CAGECGAB

CGCA＝ GEABCGCA＝∴

GECGABCACGCA＝即： CECBCGCA＝∵∠GCA≒∠ECB， CECB∴

∴△GCA∽△ECB ∴∠GAC≒∠EBC ∴AD∥BE

②证明△OAD∽△OBE 在△OAD与△OBE中

∵∠GAC≒∠EBC，∠DOA≒∠EOB ∴△OAD∽△OBE ∴

CyEGDOABxODOA＝ OEOB2③利用根与系数的关系及函数关系建立方程 设x(k2)x5k2＝0的两根分别为x1与x2 4则可知：OA＝x1，OB＝x2 OD长度为yx(k2)x25k25k2与y轴交点的纵坐标的长度；OE长度为：

44y(k1)x(k1)2与y轴交点的纵坐标(k1)2

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∵

ODOA＝ OEOB5k2x4 （方程一） ∴1x2(k1)2根据根与系数的关系列出另两方程：

x1x2k2（方程二）

x1x25k2（方程三） 4将方程一、二、三组成方程组。解之得：k2 ∴抛物线的解析式为：yx24x3 ④方程的解法技巧： 将方程三代入方程一得：

x1xx122x2(k1) x22(k1)2∵由图可知，对称轴在y轴的右边

k10∴2 即k10故得：x2k1

代入方程二从而解出：x11

将x2k1、x11代入方程三：即可得k2

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