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平面向量
一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c,,来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法 a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，
xiyj(x,y) 记作｜a｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向 量a＝0
｜a｜＝0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平 行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区 别）
③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量 a0
为单位向量｜
a｜＝0
1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可 以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记 为ab大小相等，方向相同(x x 1,y1)(x2,y2)
1 x 2 y 1 y 2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法 设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC
（1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知 向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向 被减向量
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量
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1
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的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角 形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”． 3向量的减法
①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作a,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0； (iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）
4实数与向量的积：
①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）aa；
（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a 的方向相反；当0时，a0，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a 6平面向量的基本定理：
如果 e1,e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量2
a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底 7特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行 则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与 其相对位置有关 二.平面向量的坐标表示
2
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1平面向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与 数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中 x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只 与其相对位置有关 2平面向量的坐标运算：
(1)若
ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2
ABx2x1,y2y1
(2)若 Ax1,y,Bx,y，则
122 (3)若a=(x,y)，则a=(x,y)
(4)若 (5)若
若ab，则0
ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10 ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2
x1xyy
212
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算 的坐标表示和性质
运算几何方法坐标方法运算性质 类型
向 量 的 加 法
ABBCAC
向 量
的 减 法
OBOAAB
向 量 的 乘 法
a是一个向量, 满足:
>0时,a与a 同向;
<0时,a与a 异向;
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1平行四边形法则
2三角形法则
ab(xx,yy)abba
1212
(ab)ca(bc)
三角形法则
abxxyyaba(b)
(,) 1212
ABBA
a(x,y)(a)()a
()aaa
(ab)ab
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3
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=0时,a=0a∥bab
向 量
的 数 量 积
ab是一个数
a0或b0时,
(a)ba(b)(ab)
ab=0
(ab)cacbc
a0且b0时,
2|a| a,
ab|a||b|cosa,b
|ab||a||b|
22
2 |a|xy
abxxyyabba
1212
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a与b，它们的夹，则为角a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做 a与b的数量积（或内积）规定0a0
ab
∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对 |a|
2向量的投影：︱b︱cos= 值称为射影
3数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系： 5乘法公式成立：
22
abababab；
2
222
abaabb
6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：abba
②对实数的结合律成立：abababR ③分配律成立：abcacbccab
特别注意：（1）结合律不成立：abcabc； （2）消去律不成立abac不能得到bc
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aaaa
2||
2
2
2
22 aabb
2
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4
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（3）ab=0不能得到a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量
axybxy，则a·b= (,),(,)xxyy 11221212
8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a,OB=b,则∠AOB= （ 01800
0）叫做向量a与b的夹角
cos=cos,
ab =
x
y ab
ab
2 x
y x 1 2 1 1
2 2 2 y 1 x 2
2 y
2
当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0
0
，当且仅当a与b反方向时同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a与b的夹角为90
0
则称a与b垂直，记作a⊥b
10两个非零向量垂直的充要条件： a⊥ba·b＝O0
x1xyy平面向量数量积的性质 212
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的. （4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD. （5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线. （8）若mamb，则ab. （9）若mana，则mn.
（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量.
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=1800
，θ
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（11）若ab|a||b|，则a//b. （12）若|ab||ab|，则ab. 题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”,b表示“向北走6km”,则|ab|.
5
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2.化简(ABMB)(BOBC)OM.
3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为、. 4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb，则AB，AD. 5.已知点C在线段AB上，且
题型3.向量的数乘运算
3
ACAB,则ACBC，ABBC.
5
1.计算：（1）3(ab)2(ab)（2）2(2a5b3c)3(2a3b2c) 2.已知a(1,4),b(3,8)，则
题型4.作图法球向量的和
已知向量a,b，如下图，请做出向量
1 3ab.
2 1
3ab和
2
3
2ab.
2
a
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，AC表示AD. 2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD.
题型6.向量的坐标运算
1.已知AB(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是. 2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是. 3.若物体受三个力
F,F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为.
1(1,2)
4.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b.
5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值. 6.已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD(1,4)，则DA.
7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0，求OC的坐标.
6
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题型7.判断两个向量能否作为一组基底
6.已知
e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. ee和eeB.
1212
3e2e和4e6eC. 1221
e13e2和e23e1D.
e和ee
221
7.已知a(3,4)，能与a构成基底的是（）
34 43 34 A. (,) B. (,) C. (,)
55 55 55 题型8.结合三角函数求向量坐标
4
D. (1,)
3
3.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，xOA150，求OA的坐标. 4.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求OA的坐标.
题型9.求数量积
3.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）a(ab)，
（3）
1
()
abb，（4）(2ab)(a3b).
2
4.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)，
（4）(2ab)(a3b).
题型10.求向量的夹角
8.已知|a|8,|b|3，ab12，求a与b的夹角. 9.已知a(3,1),b(23,2)，求a与b的夹角. 10.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC.
题型11.求向量的模
1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）|ab|，（2）|2a3b|.
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7
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8.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）
9.已知|a|1，|b|2，|3a2b|3，求|3ab|.
题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：
e
a
】 |a|
5.与a(12,5)平行的单位向量是.
6.与
1 m(1,)平行的单位向量是.
2 题型13.向量的平行与垂直
5.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a//b？（2）ab？
6.已知a(1,2)，b(3,2)，（1）k为何值时，向量kab与a3b垂直？
（2）k为何值时，向量kab与a3b平行？
7.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a(bc).
题型14.三点共线问题
11.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线.
12.设
2 ABabBCabCDab，求证：A、B、D三点共线.
(5),28,3() 2
13.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是.
14.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值.
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1 |ab|.
2
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8
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10.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使
OAtOBOC成立？
题型15.判断多边形的形状
7.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是.
8.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形.
9.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形.
10.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰
直角三角形.
题型16.平面向量的综合应用
8.已知a(1,0)，b(2,1)，当k为何值时，向量kab与a3b平行？ 9.已知a(3,5)，且ab，|b|2，求b的坐标. 10.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10，求a的坐标. 15.已知a(1,2)，b(3,1)，c(5,4)，则cab.
16.已知a(5,10)，b(3,4)，c(5,0)，请将用向量a,b表示向量c.
17.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围；
（2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围.
18.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（2）9
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a与b的夹角为锐角？
11.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，
AB2CD，求点C的坐标.
12.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，
求第四个顶点D的坐标.
13.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向
成30角，求水流速度与船的实际速度.
14.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，
（1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5，求sinA的值.
【备用】
11.已知|a|3,|b|4,|ab|5，求|ab|和向量a,b的夹角. 12.已知xab，y2ab，且|a||b|1，ab，求x,y的夹角的余弦. 11.已知a(1,3),b(2,1)，则(3a2b)(2a5b).
19.已知两向量a(3,4),b(2,1)，求当axb与ab垂直时的x的值. 20.已知两向量a(1,3),b(2,)，a与b的夹角为锐角，求的范围.
变式：若a(,2),b(3,5)，a与b的夹角为钝角，求的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：
2.代入验证法
例：已知向量a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c（） 13 A.
abB. 22
13
abC. 22
31
abD. 22
31 ab 22
3.排除法
例：已知M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（）
10
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A.AMMBBCB.3AMACC.ABBCACD.AMBMCM
11
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