科学技术 Ｌｏｇ ｉ ｓｔ ｉ ｃ映射产生的混沌序列 刘臣，刘淮引，傅新源 （石家庄士官学校，河北石家庄０５００６１） 摘 要：混沌理论是一门专门研究奇异函数、奇异图形的数学理论，是一门研究自然界有序、无序规律的学科。混沌学被很多学者认为是二十世 纪继相对论、量子力学之后，物理学发生的第三次大。混沌学中的混沌是貌似无序的有序，紊乱中的规律。混沌学的面世，标志着人类历史上又 一次重大科学的进步，因为人们可以从更接近实际的角度去认识这个既无序又有序的世界。混沌序列的产生有多种方法，常用的是Ｌｏｇｉ Ｓｔｉｃ映射和 Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ映射，本文采用的是Ｌｏｇｉ ｓｔ ｉｃ映射的满映射。 关键字：混沌；ｌｏｇｉ Ｓｔｉｃ映射；序列 １９６３年美国气象学家Ｅ．Ｎ．Ｌｏｒｅｎｚ提出了著名的“蝴蝶效应”， “蝴蝶效应”大意为：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶， ｆ１．Ｘｎ ０： 不经意间扇动几下翅膀，两周后可能就会在美国德克萨斯州引起一场 龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，会导致其身边的空气系统发 ｌｏ，Ｘｎ＜０ 进行０，ｌ判决，最后得到Ｙ ｉＹｏ，ｙ一，Ｙ２… ｝，既为我们所需要的比 生变化，并会产生微弱的气流，而微弱气流的产生又会引起四周空气 特混沌序列。 或其他系统产生相应的变化，由此引起一系列的连锁反映，最终可能 实数混沌序列：实数混沌序列是在比特混沌序列的基础上转换得 会导致其他系统的极大变化。 来的。由于我们在对图像进行加密的时候是对图像的每个像素值的灰 这是他在研究大气时发现，当选取一定量的参数时，一个由确定 度值做运算，而每个像素的灰度值范围是０￣２５５，即：Ｕ～Ｚ 一ｌ， 三阶常微分方程组描述的大气对流模型变得不可预测。经过长期反复 所以在转换的时候采取每八位进行转换，把０，ｌ序列变成０￣２５５的实 的数值实验和理论思考，Ｌｏｒｅｎｚ从同一系统出现的一系列非周期无规 数序列，长度变为比特序列的１／８。 则行为中发现了混沌运动，这为后来的混沌研究奠定了基础。 性能分析： 一般地，当一个接近实际而没有内在随机性的模型，仍然具有貌 自相关性：设置一计数变量数组ｔｅｍｐ（ｉ），ｆ∈Ｚ，０ ｆ ４９９。让 似随机的行为，我们就可以说这个真实物理系统是混沌的。混沌系统 Ｙ自身向右循环移位一次，然后将移位后的序列与原序列Ｙ进行按 具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性，即蝴蝶效应；二 位比较，每有一位相同则此时的ｔｅｍｐ自动加１，然后依次再向右循环 是奇异吸引子，这里是非线性事件的发生点，它通过诱发系统的活 移位，再次比较，并记录下每次ｔｅｍｐ（ｉ）值，这样从向右循环移位４９９ 力，使其变为非预设模式，从而产生了不可预测性；三是分形，它具 次，我们就得到了５００个ｔｅｍｐ值，由于向右循环移位一次与向左循环 有二个普通特征：自始至终都是不规则的以及在不同的尺度上，不规 移位４９９次是相同的结果，同时为了在画出图后，以移位０次作为对 则程度却是一个常量，这同时也表明了有序和无序的统一。混沌系统 称轴，我们将后２５０个ｔｅｍｐ值移到前面，然后将它画图，横坐标为一 经常是自反馈系统，出来的东西回去之后，经过变换再出来，循环往 ２５Ｏ～２５Ｏ，表示循环移动的位数，负表示向左移动，正表示向右移 复，任何初始值的微小变动都会按指数放大，因此会导致系统内在长 动，纵坐标表示对应每次移位后５ｏ０４＇－值当中相同值的个数。 期的不可预测性。 互相关性：与自相关性相同的是我们同样设置一个计数变量数组 混沌来自于非线性动力系统，而动力系统描述的是随时间发展变 ｔｅｍｐ（Ｏ。不同的是这次我们用两个初值不同的序列进行比较，循环右 化的任意过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。即使是一个 移其中一个序列，然后分别与另一个序列按位进行比较，最后同样得 理想化的、仅有一个变量的最简单的动力系统，也会具有难以预测 到５００个ｔｅｍｐ值。通ｋ￣ａｔｌａｂ仿真其特性曲线，我们发现，只要当混沌 的、基本上是随机的特性。动力系统中的一点或者是一个数的连续迭 序列不是与自己本身进行比较，其相同的元素所占比例都是很小的。 代产生的序列称为轨道。如果初始条件的微小改变使其相应的轨道在 将混沌序列与移位后的序列相比较，不论是与移了多少位的序列比 一定的迭代次数之内也只有微小改变，则动力系统是稳定的，此时， 较，相关性都很差，我们可以得出，混沌序列没有周期性。图中，即 任意接近于给定初值的另一个初值的轨道可能与原轨道相差甚远，是 不可预测的。因此，弄清给定动力系统中轨道不稳定的点的集合是极 使和初值只相差 的混沌序列进行移位比较，相关性也很差。 其重要的。所有其轨道不稳定的点构成的集合是这个动力系统的混沌 由上面的分析可以得出混沌序列具有较好的随机性，很强的自相 集合，并且动力系统中参数的微小改变可以引起混沌集合结构的急剧 关性，互相关性很弱，这些都完全符合加密的要求。 变化。这种研究是及其复杂的，但是引入了计算机就可以形象地看到 本文对混沌学、混沌系统做了简要的介绍。着重介绍了利用 这种混沌集合的结构，看清它是一个简单的集合还是一个复杂的集 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射产生比特混沌序列和实数混沌序列的方法。并对两种混 合，以及随着动力系统本身的变化它是如何变化的。这也是混沌学在 沌序列的性能做了分析，得出了混沌序列具有很强的随机性、自相关 计算机技术的帮助下不断前进的原因所在。 性以及很ｉ 的互相关性的重要特性。混沌在现代通信中的应用一度成 混沌序列的产生有多种方法，本文采用的是Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射的满映 为研究的热点。同时，随着数字技术及Ｉｎｔｅｒｎｅｔ技术的飞速发展，多 射： 媒体通信越来越成为现代通信技术中研究的重点，通信领域也在逐渐 ＾， 、 ． 一 ’ ．．， ＋１＝ ｌ Ｊ＝ｌ一２ｘ２． ｎ∈Ｌ－Ｉ，ｌＪ 与信号处理、密码学等学科交融。相信在未来社会中，混沌理论必将 来产生混沌序列，按上式迭代计算完成后，再对产生的序列进行 为通信行业再添光彩。 ０，ｌ判决，得到最后的比特混沌序列，由于加密的需要，可以将比特序 参考文献 列再转换成实数序列，它们都可以称为混沌序列。 …１刘军，侯祥林，民，王铁光，Ｌｏｇｉ ｓｔｉｃ映射分支值的最优化算法 产生方法 东北大学学报（自然科学版），２０００，１ ０，２１（５）。 比特混沌序列：首先按照Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射 ［２］靳毅，初识潺沌现象，开封教育学院学报，ｉ９９８（２）。 ＝， ）＝１—２ ：：Ｘｎ ［－ｌｊ１］ ［３］邓宗琦，混沌学的历史和现状，华中师范大学学报（自然科学版） ｒ设定一个初值 ，然后按照上式方程不断迭代，产生长度为ｎ的一 ｌ９９７，１２。 舍 ．ｘ Ｘｏ， ， ｚ… ），其中 ∈［－ ， ］， ＝ ，２，３…然后 …４谭云亮， 混沌”及“混沌”理论发展，科技视野，１９９７年１月． ．．３５２．．
