专题：勾股定理中的思想方法
◆类型一 分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】( )
A．13 B．5
C．13或5 D．4
2．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________． 二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论 3．★(2016·东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC的长为【易错4】( )
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10 4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】
◆类型二 方程思想 一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】
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三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长 7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
◆类型三 利用转化思想求最值
8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】
9．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝13km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】
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参与解析
1．C 2.24或67
3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB＝10，AC＝210，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8，CD＝AC2－AD2＝（210）2－62＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD＝8，CD＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为6或10.故选C.
4．25或45 解析：如图①，△ABC为锐角三角形，过点C作CD⊥AB，交AB于1
点D.∵S△ABC＝10，AB＝5，∴AB·CD＝10，解得CD＝4.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD
2＝AC2－CD2＝52－42＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝22＋42＝25；
如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝AC2－CD2＝52－42＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝BD2＋CD2＝82＋42＝45.综上所述，BC的长度为25或45.
5．17m
6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F1
＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝AB＝3.在Rt△C′BF中，由勾股
2定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.
7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在11
Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12
22＝84.
8．45
9．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，
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DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝A′E2＋BE2＝32＋42＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．
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