章末质量评估(七)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知复数z=2+i,则z𝑧= A.√3 B.√5
( )
C.3 D.5
( )
D.3-2i
2.设复数z满足z+i=3-i,则𝑧= A.-1+2i B.1-2i
C.3+2i
2-i
= ( 1+2i
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷)A.1 B.-1 C.i
)
D.-i
4.已知复数z=a+i(a∈R),若z+𝑧=4,则复数z的共轭复数𝑧=( ) A.2+i
B.2-i C.-2+i
D.-2-i
( )
5.(全国卷Ⅱ)设z=-3+2i,则在复平面内𝑧对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.已知i为虚数单位,复数z=i(2-i)的模|z|= ( ) A.1 B.√3 7.复数
1
1-2+i1-2i
C.√5 D.3 ( )
1
1
+
1
的虚部是
A.5i B.5
1
C.-5i D.-5 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,则复数z1z2对应的点位于8.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是𝑂𝐴
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若复数z满足(1-i)z=3+i,则 ( ) A.z的实部是2
B.z的虚部是2i
C.𝑧=1-2i D.|z|=√5
10.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是( ) A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.|z|=√2 C.z的虚部是i D.z的实部是1
11.下面四个命题中是真命题的有 A.若复数z满足∈R,则z∈R
𝑧B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=𝑧2 D.若复数z∈R,则𝑧∈R
12.已知z1与z2互为共轭复数,以下四个命题一定正确的是( ) A.𝑧12<|z2|2
B.z1z2=|z1z2|
1
( )
C.z1+z2∈R
D.𝑧∈R
2
𝑧1
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
-13.若i为虚数单位,则1+i2=___
(
)
4+i1-i
12i
14.(本题第一空3分,第二空2分)若复数z=第一象限.
,则|z|=√34,复数z在复平面内对应的点位于
2
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=___ 16.若复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=√3,则𝑥的最大值为_______
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)计算:i(√2+√2i)5+（1+i）4+（）7.
1i
-1
1
1+i𝑦
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为1,z1z2是实数,求z2.
19.(12分)已知复数z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1-a)i (a,b∈R,i为虚数单位). (1)若z1=z2,求a,b的值; (2)若b=1,a=0,求
𝑧1+𝑧21-2i
.
20.(12分)已知复数z满足(1+2i)𝑧=4+3i. (1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 21.(12分)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. ⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (1)求⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵(2)判断△ABC的形状; (3)求△ABC的面积.
22.(12分)已知复数w满足w(1+2i)=4+3i(i为虚数单位),z=+|w-2|,求一个以z为根的实系
𝑤5
数一元二次方程.
章末质量评估(七)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知复数z=2+i,则z𝑧= A.√3 答案:D
2.设复数z满足z+i=3-i,则𝑧= A.-1+2i B.1-2i 答案:C
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷)A.1 B.-1 C.i 答案:D
4.已知复数z=a+i(a∈R),若z+𝑧=4,则复数z的共轭复数𝑧=( ) A.2+i 答案:B
5.(全国卷Ⅱ)设z=-3+2i,则在复平面内𝑧对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C
6.已知i为虚数单位,复数z=i(2-i)的模|z|= ( )
( )
B.2-i C.-2+i
D.-2-i
2-i
= ( 1+2i
( )
B.√5
C.3 D.5
( )
D.3-2i
C.3+2i
)
D.-i
A.1 B.√3 答案:C
7.复数2+i+12i的虚部是
--1
1
C.√5 D.3
( )
1
15
A.5i B.5 答案:B
11
C.-5i D.-
⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ,则复数z1z2对应的点位于8.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是𝑂𝐴
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:D
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若复数z满足(1-i)z=3+i,则 ( ) A.z的实部是2
B.z的虚部是2i
C.𝑧=1-2i D.|z|=√5 答案:CD
10.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是( ) A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.|z|=√2 C.z的虚部是i
D.z的实部是1 答案:ABD
11.下面四个命题中是真命题的有 A.若复数z满足∈R,则z∈R
𝑧B.若复数z满足z2∈R,则z∈R C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=𝑧2 D.若复数z∈R,则𝑧∈R
1
( )
答案:AD
12.已知z1与z2互为共轭复数,以下四个命题一定正确的是( ) A.𝑧12<|z2|2 C.z1+z2∈R
B.z1z2=|z1z2| D.𝑧∈R
2
𝑧1
答案:BC
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
-13.若i为虚数单位,则1+i2=-1-i. 2
(
)
4+i1-i
12i
1
14.(本题第一空3分,第二空2分)若复数z=第一象限.
,则|z|=√34,复数z在复平面内对应的点位于
2
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=4i. 16.若复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=√3,则𝑥的最大值为√3.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(10分)计算:i(√2+√2i)5+（1+i）4+（）7.
1i
-1
1
1+i𝑦
解:i(√2+√2i)5+（1+i）4+（1i）7
-
111+i
=-i(√2)5[(1+i)2]2(1+i)+[1+i2]2+i7
(
)
1
=16√2(-1+i)--i 4
=-(16√2+)+(16√2-1)i.
4
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为1,z1z2是实数,求z2.
解:因为(z1-2)(1+i)=1-i, 所以
1-i(1-i)2
z1-2===-i, 1+i2
1
1
所以z1=2-i.
由复数z2的虚部为1,设z2=a+i, 所以z1z2=(2-i)(a+i)=(2a+1)+(2-a)i. 因为z1z2是实数,所以2-a=0,即a=2. 所以z2=2+i.
19.(12分)已知复数z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1-a)i (a,b∈R,i为虚数单位). (1)若z1=z2,求a,b的值; (2)若b=1,a=0,求
𝑧1+𝑧21-2i
.
解:(1)复数z1=(1+bi)(2+i)=2-b+(2b+1)i,z2=3+(1-a)i, 2𝑏=3,𝑎=2,
由z1=z2,得{-解得{
2𝑏+1=1-𝑎,𝑏=-1.(2)若b=1,a=0,则z1=1+3i,z2=3+i.
𝑧1+𝑧2
√42+22|1+3i+3-i||=12i==2. 1-2i√1+(-2)2|-|
所以|
20.(12分)已知复数z满足(1+2i)𝑧=4+3i. (1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围. 解:(1)因为(1+2i)𝑧=4+3i, 所以𝑧=1+2i=(1+2i)(1-2i)=(
4+3i4+3i12i
10-5i
=2-i, 5)(-)
所以z=2+i.
(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+ 4(a+1)i.
因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限, 4-(𝑎+1)2>0,
所以{解得-14(𝑎+1)>0,21.(12分)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i. ⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (1)求⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵(2)判断△ABC的形状; (3)求△ABC的面积.
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为解:(1)设A,B,C三点对应的复数分别为zA=1,zB=2+i,zC=-1+2i,则𝐴𝐵zB-zA=(2+i)-1=1+i,
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i, 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i. 𝐴𝐶
⃗ |=|1+i|=√2,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-3+i|=√10,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=|-2+2i|=2√2, (2)由(1)知|⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵⃗ |2+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |2, 所以|⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵故△ABC为直角三角形.
1
⃗⃗⃗⃗⃗ |·⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×(3)S△ABC=|𝐴𝐵|𝐴𝐶2√2=2. √2×22
22.(12分)已知复数w满足w(1+2i)=4+3i(i为虚数单位),z=+|w-2|,求一个以z为根的实系
𝑤
5
数一元二次方程.
解:由w(1+2i)=4+3i, 得w=
4+3i(4+3i)(1-2i)4-5i-6i2===2-i, 1+2i(1+2i)(1-2i)5
所以z=𝑤+|w-2|=2i+|2-i-2|=2(i
-
55
52+i)+1=2+i+1=3+i,所以𝑧=3-i. (-)(2+i)
所以z+𝑧=6,z𝑧=32-i2=10,
因此,以复数z为一个根的实系数方程为(x-z)(x-𝑧)=0,即x-(z+𝑧)x+z𝑧=0, 即x2-6x+10=0.
