确界原理的证明

§2 数集. 确界原理

(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理

难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的：

1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求：

1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，

能指出其确界；

2）能用定义证明集合A的上确界为．即：

xA有x，且 0,x0A,使得 x0．

(三) 教学建议：

(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置

证明具体集合的确界的习题．

(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习

题．

一 区间与邻域: 区间

邻 域

设a与是两个实数，且0，称点集 E{x||xa|}为点 a的邻域，记作U(a)

aaax.

称点集 U(a){x|axa}{x|axa} 为点 a 的去心邻域 记作U(a)

0aaax

a的右邻域 U(a){x|axa}

a的右空心邻域 U0(a){x|axa}

a的左邻域 U(a){x|axa}

a的左空心邻域 U0(a){x|axa}

邻域 U(){x||x|M}

 邻域 U(){x|xM}

 邻域 U(){x|xM}

二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:

定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（ L）, 得对一切 xS 都有 xM(xL)，则称S为有上界(下界)的数集。

若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。

例如，区间 [a,b]、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 Ey ysinx, x (  ,  ) 也是有界数集.

无界数集: 若对任意M0，存在 xS,|x|M，则称S为无界集。

例如，(  ,  ) , (  , 0 ) , ( 0 ,  )，有理数集等都是无界数集, 例1

证明集合 E1y yx, x( 0 , 1 )是无界数集. 证明：对任意M0, 存在 x1M1(0,1),y1xE,yM1M

由无界集定义，E为无界集。 y M+1 y1 M

x

1x

M1

使

确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作 supS；

同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 infS。 精确定义

定义2 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条： （1） 对一切 xS 有 x，即 是数集S 的上界；

（2） 对任意0，存在 x0S 使得x0（即是S的最小上界）， 则称数为数集S的上确界。记作 supS

S 上确界 M M1

M2

上界 m2 m1 m 下界 下确界  x0 

定义3 设S是R中的一个数集，若数  满足以下两条： （3） 对一切 xS 有 x，即  是数集S 的下界；

（4） 对任意0，存在 x0S使得x0（即是S的最大下界），

 x0 S 则称数为数集S的下确界。记作 infS

(1 )n 例2 （1） S1infS_______. , 则supS______, n （2） Ey ysinx, x(0,). 则



supE________, infE_________.

注1 由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且

infSsupS

注2 由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。

例3 设数集S有上确界，证明 supS证明 （略）

定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

证明 不妨设 S包含非负数，S有上界  存在自然数 n ，使得 1）xS,xn1； 2）存在a0S,maxS

a0n

在[n,n1) 内作10等分，分点分别为：n.1,使得

1）xS,n.2,,n.9 存在自然数 n1

xn.n1…………

1; 2）存在 a1S,a1n.n1 101; 2）存在 akS,akn.n1n2nk k101）xS,xn.n1n2nk按上述办法无限作下去，得到实数 n.n1n2nk ，可以验证supS。 例4 设A和B是非空数集. 若对xA和yB,都有xy, 则有

supAinfB.

证 xA和yB,都有xy, y是A的上界, 而 supA 是A的最小上界

 supAy. 此式又 supA是B的下界, supA infB（B的最大下界）

例5 A和B为非空数集, SAB. 试证明:

. infSmin infA , infB  证 xS,有 xA 或xB, 由infA 和infB 分别是 A 和B的下界, 有

xinfA 或 xinfB.  xmin infA , infB .

. 即 min infA , infB 是数集 S的下界,  infSmin infA , infB  又SA,  S的下界就是 A 的下界, infS 是 S的下界,  infS是A的下界,

 infSinfA; 同理有 infSinfB. 于是有

infSmin infA , infB .

综上, 有 infSmin infA , infB .

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