2012年塞尔维亚数学奥林匹克试题

1. 在平行四边形𝐴𝐴𝐴𝐴中，𝑃为对角线𝐴𝐴上的一点，且∠𝑃𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴，△𝐴𝐴𝐴的外接圆交𝐴𝐴于𝐴和𝐸。证明：∠𝐴𝐸𝐴=∠𝑃𝐸𝐴。

2. 找出所有的自然数组(𝑎,𝑏)，使得：𝑎|𝑏2,𝑏|𝑎2且𝑎+1|𝑏2+1。

3. 已知苍蝇和𝑘只蜘蛛被放置在2012×2012方格表的一些交点处。一次操作包括以下步骤：首先，苍蝇移动到相邻的交点处或原地不动；然后每只蜘蛛移动到相邻交点处或原地不动（同一交点可同时停留多只蜘蛛），每只蜘蛛和苍蝇总是知道其它蜘蛛和苍蝇的位置，（1）找出最小的𝑘，使得能在有限次操作内，蜘蛛抓住苍蝇，且与其初始位置无关；（2）在2012×2012×2012的三维格中，回答相同的问题。

（注：一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同，且其差值为1，则称该两个交点相邻。若一蜘蛛和苍蝇位于同一交点视为蜘蛛抓住苍蝇。）

4. 找出所有的自然数𝑛，使得存在数组(1,2,⋯,𝑛)的一个置换(𝑝1,𝑝2,⋯,𝑝𝑛)，满足集合𝑝1+1,𝑝2+2,⋯,𝑝𝑛+𝑛和𝑝1−1,𝑝2−

2,⋯,𝑝𝑛−𝑛是摸𝑛的完全剩余系。

5. 令𝐾是所有二维整数格的集合，是否存在一个双射𝑓:𝑁→𝐾满足：

对所有不同整数𝑎,𝑏,𝑐，有𝑔𝑔𝑔(𝑎,𝑏,𝑐)>1⟹𝑓(𝑎),𝑓(𝑏),𝑓(𝑐)不共线。 6. 有𝑛(>1)堆硬币，它们是两类不同的硬币：真硬币和假硬币，它们外表相同。同一类型的硬币质量相同，不同类型的硬币质量不同；同一堆中的硬币属同一类型。已知真硬币的质量，找出用电子天平称量次数的最小值，使得我们能确定每堆硬币的类型及假币的质量。（假

定每堆硬币有无限多个。）