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高等数学教学改革经验及教法研究
作者：王 萍
来源：《职业·中旬》2010年第03期
如何提高高等数学的课堂教学效果,是所有教师都该思考的问题。
一、微积分的教学
微积分的中心内容是研究变量、函数及其初步应用。如何采用恰当的教学方法,使学生学好微积分?
首先要不断加强变量概念的教学,树立“以变量为思维对象”的观点。要适应微积分的学习,就要加强变量概念的教学,使学生逐渐熟悉变量,善于观察变量,思考变化过程。在极限、连续、导数、微分、积分等概念的教学中,要特别注意将变量及其变化讲解清楚,对变量与常量的辩证关系加以逐步剖析,使学生能把握变量数学的研究方法。
其次要充分注意从实际问题中提取数学模型的研讨方法,不断提高对数学概念、数学方法的认识。由于微积分起源于力学的一些问题(如确定变速运动的瞬时速度)和一些古老的几何问题(如作曲线的切线,确定曲线形的面积与旋转体的体积等)。因此,教学中就要利用学生已有的函数及其图像的知识,充分由实际问题阐明微积分研究的主要内容,并进一步抽象概括为纯粹形式的微积分问题,即由实际问题提取数学模型引进微积分的概念,并进一
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步摆脱对这一概念的力学、几何学方式的提法,提高到对一般函数的讨论。例如,关于导数概念,教学中可以首先通过瞬时速度的物理量和切线的斜率来引进和阐明,再从中提取出广义的数学模型——函数的变化率问题。为了使学生切实掌握导数的本质并学会运用这个概念,还要通过习题,不断对学生明确能够用“增量”的比值来描述用以表征变化快慢的一类其他物理量,使学生能够真正体会到以不变代变,再求极限来定义变化率的思想实质,加深对导数概念的理解。
二、极限的教学
在极限的教学中必须首先从知识内容入手,对概念进行细致的剖析,找出重点,抓住关键,结合实际例子揭示出极限内容和极限方法的实质,并反复应用到有关问题的讨论上去。其次,在教学方法上遵循由浅入深,由简到繁,由具体到抽象的认识过程,使学生能由直观描述逐步上升到用数学术语准确叙述极限概念,并能用简明的数学符号把它表达出来,形成科学的概念和方法。再联系初等数学里没有解决的问题(如循环小数化分数的方法)或没有很好解决的问题(如圆周长、圆面积的求法,矩形面积,相似三角形定理,圆心角与它所对的圆弧的关系,棱锥的体积以及开方问题),用极限方法加以补充,那么学生在学习极限理论知识时就不会感到枯燥乏味。学生对函数的极限有了正确的认识,教师在讲解函数的连续性时配合图像作适当解释,学生就容易接受了。
三、导数与微分的教学
在导数与微分的教学时首先应该从学生已熟悉的圆的切线开始引入,再去定义任意曲线的切线:割线的极限位置,即切线是与曲线交于重合点的直线。这样就把切线的求法与
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极限联系起来了。最后再把函数的导数定义概括出来,得到求函数导数的方法后,让学生进行按部就班的训练,熟练掌握以后,才可以逐步简化微分运算的过程。在教学中及时向学生说明研究函数的导数的目的和意义,调动学生学习积极性。在学生学完求一般函数的导数方法后,就立刻转到用初等函数的求导方法求具体函数,特别是基本初等函数的导数上。注意结合应用和练习,能使学生不断加深对概念的理解,加强对方法的掌握,使学生熟练技能,记牢公式,在以后学习积分时,就不会发生概念的混淆与计算上的困难。在进行求导公式推导的教学中,注意发挥学生的主动性和创造性,即到了一定的时间,可以把主要推导线索阐述清楚,并给予适当引导,让学生自己主动把公式推导出来。这样可以培养学生阅读能力、思考能力,牢固地记忆和正确运用公式。
在导数与微分的应用的教学中,先学习中值定理,再利用导数讨论函数图像画法,研究函数的增减性区间,函数的极大极小值与最大最小值后,那么将会发现只需要很少几个特殊点就能够勾画出函数图像的大致轮廓。最后利用导数进行微分近似计算,注意对学生进行近似计算的训练,提高学生实际的计算能力。
要使学生充分理解不定积分是导数的原函数,它的运算就是微分的逆运算。把定积分理解为一个数量,使学生理解定积分概念和定积分与不定积分的关系(牛顿-莱布尼兹公式)。在积分的应用上要使学生善于利用定积分概念,先把一些实际问题抽象概括成数学上的积分形式,给予解决。还要把立体几何中柱、锥、台、球的体积公式统一起来,发展学生的辩证思维,提高学生分析问题和解决问题的能力。
(作者单位:贵州省贵阳市第一高级技工学校)
