第3章 平稳随机过程的谱分析

付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。

对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？

3.1 随机过程的谱分析

3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析

f(t)是非周期实函数， f(t)的付里叶变换存在的充要条件是：

1．f(t)在(,)上满足狄利赫利条件；

2．f(t)绝对可积：

f(t)dt

3．若f(t)代表信号，则f(t)信号的总能量有限，即：

f(t)dt

2f(t)的付里叶变换为：

F()f(t)ejtdt

付里叶逆变换为

1f(t)2重要等式：

F()ejtd

1f(t)dt222能量，等式右边的

F()d

2此等式称为帕塞瓦（Parseval）等式，其物理意义是：等式左边信号在时域上的总

F()可认为是单位频带内的能量，总能量通过积分

2

F()d得到，称F()2等于为能谱密度。

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3.1.2 随机过程的功率谱密度

一、样本函数的平均功率

问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程X(t)时，取

X(t)的一个样本函数x(t)（在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分

析。

问题2：随机过程X(t)的样本函数x(t)一般不满足付里叶变换的条件，它的总能

量是无限的，需考虑平均功率。

若随机过程X(t)的样本函数x(t)满足

1WlimT2TW称为样本函数x(t)的平均功率。

TTx(t)dt2

对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。

二、截取函数

对于X(t)的一个样本函数x(t)，在x(t)中截取长为2T的一段，记为xT它满足：

(t)，

x(t)xT(t)0称xTtTtT

(t)为x(t)的截取函数。

(t)的付里叶变换一定存在：

jt三、截取函数的付里叶变换 T0，取定后，xTXT()xT(t)edtx(t)ejtdt

TT其付里叶逆变换为：

1xT(t)2其帕塞瓦（Parseval）等式为

XT()ejtd



xT(t)dt2TT1x(t)dt22XT()d

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四、随机过程的平均功率

说明：xT因此，xT(t)与XT()具有随机性，因为x(t)是X(t)的一个样本，具有随机性，

(t)与XT()都是随机变量。 1x(t)dt222由TTXT()d XT()d

2212TTT1x(t)dt4T1E[2TTT1x(t)dt]E[4T2XT()d]

2212T1E[x(t)]dtT2T2TE[XT()]2Td E[XT()]2112WlimE[x(t)]dtlimd

TT2TT22T1T2E[x(t)]dt为随机过程X(t)的平均功率。 称WlimT2TT记SX()limTE[XT()]2T2，称SX()为随机过程X(t)的功率谱密度。

SX()描述了随机过程X(t)的功率在各个频率分量上的分布。

3.1.3功率谱密度与复频率面

拉谱拉斯变换回顾：在付里叶变换中，令sj，便有变换为

F(s)f(t)estdt

这便是有名的拉谱拉斯变换。

令sj，用s来代替，得SX(s)，s是复频率。

应用复频率来表示平稳随机过程的功率谱密度，在某些实际应用中是很方便的。 取0，SX(s)便是由拉谱拉斯变换引伸出的频谱分析。

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3.2 功率谱密度的性质 1．

功率谱密度为非负函数，即：

SX()0

2． 3．

功率谱密度为的实函数。 功率谱密度为的偶函数：

SX()SX()

证明：

4．功率谱函数可积

这时，SXSX()d

5．有理谱密度是实际应用中最觉常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际应用中的有色

噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。

()可以表示为两个多项式之比，即

S0(2Mc2M22M2c22c0)SX()

2Nd2N22N2d22d0必须满足MN。

3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系

定理：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成付里叶变换对，即：

设SX()是功率谱密度，RX()是自相关函数，则有

SX()RX()ejd

1RX()2证明：

SX()ejd

SX()limTE[XT()]2T2

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XT()XT()limE T2T1limET2T

TTX(t1)ejt1dt1X(t2)ejt2dt2

TT1limT2T1limT2TTTTTTTE[X(t1)X(t2)]ej(t2t1)dt1dt2 RX(t1,t2)ej(t2t1)dt1dt2

TT令tt1， t2t1，则dtdt1，dt2d

1SX()limT2TTtTtTTRX(t,t)dtejd



1limT2TjR()dtedTXT1limRX()2TejdT2T

RX()ejd

SX()与RX()的相互关系反映了时域特性与频域特性之间的联系，是分析随

机信号的一个最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解计算大大简化。

3.4 联合平稳随机过程的互谱密度

1． 两个随机过程X(t)、Y(t)的截取函数

设x(t)、y(t)分别为X(t)与Y(t)的样本函数，令：

x(t)xT(t)0tTtT

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y(t)yT(t)0tTtT

xT(t)、yT(t)分别称为x(t)与y(t)的截取函数。

2． 截取函数的付里叶变换

xT(t)、yT(t)的付里叶变换分别为

XT()xT(t)ejtdtx(t)ejtdt

TTYT()yxT(t)e付里叶逆变换分别为

jtdty(t)ejtdt

TT1xT(t)2XT()ejtd YT()ejtd

1yT(t)23． 样本函数互功率

 样本函数x(t)与y(t)的互功率定义为：

1WxylimT2T4． 帕塞瓦定理

根据帕塞瓦定理，有

TTx(t)y(t)dt

1x(t)y(t)dtT2TXT()YT()d

又，

TTx(t)y(t)dtxT(t)yT(t)dt

T1x(t)y(t)dt所以，T25． 两个随机过程的互功率

XT()YT()d

由于x(t)与y(t)具有随机性，xT(t)、yT(t)也具有随机性，从而XT()、YT()具有随机性。为消除随机性，取：

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1T1WXYE[limx(t)y(t)dt]limTT2TT2T1TlimE[X(t)Y(t)]dtTT2T称其为随机过程的互功率。

6． 互功率谱密度

由帕塞瓦定理，有

TTE[x(t)y(t)]dt

1x(t)y(t)dtT2TXT()YT()d

WXY令：

1limE[T2T1Tx(t)y(t)dt]2TE[XT()YT()]d

Tlim2TE[XT()YT()]SXY()lim

T2T称SXY()为互功率谱。

7． 平稳随机过程互相关与互功率谱的关系

定理:互相关与互功率谱为一付里叶变换对，即：

SXY()RXY()ejd

1RXY()2和

SXY()ejd

SYX()RYX()ejd

1RYX()28． 互功率谱密度的性质

（1）SXY()SYX()ejd

SYX()SYX()

（2）若X(t)与Y(t)正交，则

SXY()SYX()0

（3）若X(t)与Y(t)不相关，则

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SXY()SYX()2mXmY()

3.5 噪声与功率谱密度

1． 理想白噪声

若N(t)是一个具有0均值的平稳过程，其功率谱密度均匀分布在(,)的： 整个频率区间，即

SN()1N0 2N0为一正实数，则称N(t)为白噪声过程，简称白噪声。

2． 白噪声的时域分析

1由RN()2SN()ejd

及

1SN()N0，有

2RN()N(t)R 自相关系数为

1N0() 2RN()1rN()RN(0)00其他

以上说明，白噪声在任两个相邻时刻（两个时刻不管多么邻近）的取值都是不相关的。这说明白噪声过程随时间的起伏极快。

3． 白噪声在工程中的应用

实际上，白噪声是不存在的。

在工程中，当所研究的随机过程通过某一系统时，若过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它当作白噪声来处理。 常用应用有：电子设备中的白噪声；电阻热噪声；晶体管的散粒噪声等。

4． 限带白噪声

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若过程的功率谱密度满足：

S0SX()00其他

称此过程为低通型限带白噪声。 若

S0SX()0称此过程为带通型限带白噪声。

5． 色噪声

－0其他2

除白噪声以外，所有噪声都称为有色噪声，简称色噪声。

3.6 功率谱密度计算举例

例1、 随机电报过程是广义平稳过程，其自相关函数为

RX()Ae

其中A0, 0，求过程的功率谱密度。

jS()R()ed解：利用XX可得

SX()例2：X(t)为随机相位过程

2A22

X(t)Acos(0t)

A、0为实数。为随机相位，在(0,2)内均匀分布变。求X(t)的功率密度。

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A2cos(0）解：X(t)的自相关为RX() 2有：

SX()RX()ejA2d2cos(0)ejdA2j0 [(eej0)ejd4A2j(0) [(eej(0))d4A2 [(0)(0)]4例3：已知平稳过程X(t)具有如下功率谱密度：

SX()求自相关函数及平均功率。 解：

16 421336161611SX()4[22] 213365491jRN()S()edN2je16ej [dd]229 1044283 ee515平均功率

484WRN(0) 51515

作业：P109 4.1，4.3，4.5，4.7，4.8，4.9，4.11,4.12。

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