(完整word版)2014年贵州省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)

2014年贵州省高考数学试卷（理科）(全国新课标Ⅱ)

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.

1．(5分）设集合M={0，1,2｝，N={x｜x2﹣3x+2≤0｝，则M∩N=（ ) A．{1｝ B．｛2} C．{0，1} D．{1,2｝

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=( ） A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．(5分）设向量，满足｜+｜=A．1 B．2 C．3 D．5

4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=A．5 B．

C．2 D．1

,则AC=( )

，｜﹣|=

，则•

=（ ）

5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ） A．0.8 B．0。75 C．0.6 D．0.45

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ）

A．

B． C． D．

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7．(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x，t均为2，则输出的S=（ )

A．4 B．5 C．6 D．7

8．（5分)设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ) A．0 B．1 C．2 D．3

9．（5分）设x，y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为（ ）

A．10 B．8 C．3 D．2

10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ) A．

B．

C．

D．

11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ） A．

B． C．

D．

12．（5分)设函数f（x）=取值范围是（ ）

sin，若存在f（x）的极值点x0满足x0+[f(x0）]＜m,则m的

222

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A．（﹣∞，﹣6)∪(6，+∞) B．（﹣∞，﹣4)∪（4,+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。(第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答） 13．(5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．

14．(5分)函数f(x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．

15．（5分）已知偶函数f（x）在［0,+∞）单调递减,f(2）=0，若f(x﹣1)＞0,则x的取值范围是 ．

16．（5分)设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 17．(12分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1．

(Ⅰ）证明｛an+｝是等比数列，并求｛an}的通项公式; （Ⅱ）证明：

+

+…+

＜．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1,AD=

，求三棱锥E﹣ACD的体积．

19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

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年份 年份代号

t 人均纯收入y

2007 1

2008 2

2009 3

2010 4

2011 5

2012 6

2013 7

2.9 3.3 3。6 4。4 4。8 5。2 5.9

(Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用(Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．

20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x

轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N． （1)若直线MN的斜率为，求C的离心率;

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且｜MN|=5|F1N|，求a，b． 21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ)讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g(x）=f(2x)﹣4bf（x），当x＞0时，g（x)＞0,求b的最大值； (Ⅲ）已知1.4142＜

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。【选修4-1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，P是⊙O外一点,PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B,C，PC=2PA，

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＜1。4143,估计ln2的近似值（精确到0.001)．

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D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明： （Ⅰ）BE=EC;

（Ⅱ）AD•DE=2PB．

2

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈［0,（Ⅰ)求C的参数方程；

(Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．

六、解答题(共1小题,满分0分）

24．设函数f(x）=｜x+｜+｜x﹣a|（a＞0)． （Ⅰ）证明：f（x）≥2；

(Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．

x+2垂直，根据（1）中你得到的

］

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参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）设集合M=｛0,1，2}，N={x｜x2﹣3x+2≤0｝,则M∩N=( ） A．{1} B．｛2｝ C．{0,1} D．｛1，2}

【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解:∵N={x｜x2﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1）（x﹣2)≤0｝={x|1≤x≤2｝， ∴M∩N=｛1，2}， 故选:D．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（ A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i

【分析】根据复数的几何意义求出z2,即可得到结论． 【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为(2，1)， ∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称, ∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1）, 则对应的复数，z2=﹣2+i,

则z1z2=(2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5， 故选：A

【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．第6页（共27页）

)

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3．（5分）设向量，满足|+|=A．1 B．2 C．3 D．5

【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论． 【解答】解:∵｜+｜=∴分别平方得两式相减得4•即•

=1，

+2•

+

，|﹣｜==10,

﹣2•

， +

=6，

，|﹣｜=

，则•

=（ ）

=10﹣6=4,

故选：A．

【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．

4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=A．5 B．

C．2 D．1

,则AC=（ ）

【分析】利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值,分两种情况考虑:当B为钝角时;当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,利用余弦定理求出AC的值即可．

【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=∴S=acsinB=,即sinB=当B为钝角时，cosB=﹣

,

=﹣

，

， ，

利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5,即AC=当B为锐角时，cosB=

=

，

利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1， 此时AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形，不合题意,舍去，

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则AC=．

故选：B．

【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

5．（5分)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。75，连续两天为优良的概率是0。6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ） A．0.8 B．0。75 C．0。6 D．0.45

【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0。6,由此解得p的值．

【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.75×p=0.6， 解得p=0。8， 故选：A．

【点评】本题主要考查相互事件的概率乘法公式的应用,属于基础题．

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ）

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A． B． C． D．

【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．

【解答】解:几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4,

组合体体积是:32π•2+22π•4=34π．

底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:32π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：故选：C．

【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力．

7．(5分）执行如图所示的程序框图,若输入的x，t均为2，则输出的S=（ )

=

．

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A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】根据条件，依次运行程序,即可得到结论． 【解答】解：若x=t=2,

则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5,k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7,k=3，

此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D．

【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．

8．（5分)设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】根据导数的几何意义，即f′(x0）表示曲线f(x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，

∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D．

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【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．

9．（5分)设x,y满足约束条件

，则z=2x﹣y的最大值为( ）

A．10 B．8 C．3 D．2

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)． 由z=2x﹣y得y=2x﹣z， 平移直线y=2x﹣z，

由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小， 此时z最大． 由

，解得

,即C（5，2）

代入目标函数z=2x﹣y， 得z=2×5﹣2=8． 故选:B．

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

10．(5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案． 【解答】解:由y2=2px，得2p=3，p=， 则F（,0）．

∴过A，B的直线方程为y=即x=

y+．

（x﹣），

联立 ，得4y2﹣12y﹣9=0．

设A(x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=3

，y1y2=﹣．

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∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=×｜y1﹣y2｜=故选:D．

=×=．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．

11．（5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ） A．

B． C．

D．

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角,利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON,

，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO,

∵BC=CA=CC1，

设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=

，AN=

，MB=

==

==

， ．

在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=故选：C．

【点评】本题考查异面直线对称角的求法,作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．

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12．（5分）设函数f(x）=取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣6）∪(6，+∞）

B．（﹣∞，﹣4）∪(4，+∞) C．（﹣∞，﹣2）∪(2，+∞）sin

,若存在f（x）的极值点x0满足x02+［f（x0）］2＜m2,则m的

D．(﹣∞，﹣1)∪（1，+∞）

,且

=kπ+

，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，｜x0|

【分析】由题意可得,f(x0）=±

最小，而｜x0|最小为｜m|,可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围． 【解答】解:由题意可得，f（x0）=±

，即

=kπ+

，k∈z，即 x0=

m．

再由x02+［f(x0)]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时,｜x0|最小，而｜x0｜最小为｜m|， ∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4． 求得 m＞2，或m＜﹣2， 故选：C．

【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答) 13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=

．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．

【解答】解：(x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=令10﹣r=7,求得r=3，可得x7的系数为a3•∴a=，

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•x10﹣r•ar，

=120a3=15，

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故答案为:．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质,属于中档题．

14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ)﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 1 ．

【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．

【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[(x+φ)+φ]﹣2sinφcos(x+φ) =sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos(x+φ）sinφ

=sin［(x+φ）﹣φ］=sinx， 故函数f(x)的最大值为1， 故答案为：1．

【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用,正弦函数的最值，属于中档题．

15．（5分)已知偶函数f（x）在［0，+∞)单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1)＞0，则x的取值范围是 (﹣1,3) ．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1｜）＞f(2），即可得到结论．

【解答】解:∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减,f(2）=0， ∴不等式f（x﹣1)＞0等价为f（x﹣1）＞f(2）， 即f（｜x﹣1｜）＞f(2）， ∴|x﹣1|＜2,

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解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3）

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f(|x﹣1｜）＞f（2)是解决本题的关键．

16．（5分）设点M（x0,1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是 [﹣1，1］ ．

【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1）， 要使圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，

则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°， 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值， 此时MN=1，

图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1, ∴x0的取值范围是[﹣1，1］．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤。 17．（12分）已知数列{an｝满足a1=1，an+1=3an+1． （Ⅰ）证明｛an+｝是等比数列，并求{an}的通项公式; (Ⅱ）证明：

+

+…+

＜．

=常数，又首项不为0,

【分析】(Ⅰ）根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数，即所以为等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式; （Ⅱ)将

进行放大，即将分母缩小,使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．

【解答】证明（Ⅰ)∵

≠0，

==3，

∴数列｛an+｝是以首项为，公比为3的等比数列; ∴an+=

=

，即

,

＜

=

，

;

（Ⅱ）由(Ⅰ）知

当n≥2时,∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴∴当n=1时，

成立，

当n≥2时，∴对n∈N+时，

++

+…++…+

＜1+＜．

…+==＜．

【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，

通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．

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18．（12分)如图，四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=

，求三棱锥E﹣ACD的体积．

【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC； （Ⅱ）延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E﹣ACD的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点,连接EO， ∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，（2分)

EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分) (Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，

∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, ∴CD⊥平面AMD， ∴CD⊥MD．

∵二面角D﹣AE﹣C为60°， ∴∠CMD=60°, ∵AP=1，AD=∴PD=2，

第18页（共27页）

,∠ADP=30°,

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E为PD的中点．AE=1， ∴DM=CD=

，

=．

=

=

．

三棱锥E﹣ACD的体积为：

【点评】本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．

19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表: 年份 年份代号

t 人均纯收入y

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用(Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化

第19页（共27页）

2007 1

2008 2

2009 3

2010 4

2011 5

2012 6

2013 7

2。9 3.3 3。6 4.4 4。8 5.2 5。9

(完整word版)2014年贵州省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)

情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．

【分析】（Ⅰ）根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和,代入公式求出b的值,再求出a的值，写出线性回归方程．

(Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．

【解答】解:（Ⅰ)由题意，=×(1+2+3+4+5+6+7)=4， =×（2.9+3。3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴==﹣

=4.3﹣0。5×4=2。3．

=

=0.5，

∴y关于t的线性回归方程为=0。5t+2。3；

(Ⅱ）由(Ⅰ）知，b=0。5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2。3，得： =0.5×9+2。3=6。8，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6。8千元．

【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．

20．（12分）设F1，F2分别是C:

+

=1(a＞b＞0）的左，右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂

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直,直线MF1与C的另一个交点为N．

(1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且｜MN｜=5|F1N｜,求a,b．

【分析】（1）根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；

（2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及｜MN|=5|F1N｜，建立方程组关系,求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y=若直线MN的斜率为，

，即M（c,

）,

即tan∠MF1F2=即b2=即c2+则

=a2﹣c2, ﹣a2=0，

，

，

即2e2+3e﹣2=0

解得e=或e=﹣2（舍去）， 即e=．

（Ⅱ)由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D(0，2）是线段MF1的中点， 设M(c,y），（y＞0）， 则

，即

，解得y=

，

∵OD是△MF1F2的中位线，

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∴=4，即b2=4a，

由|MN｜=5｜F1N｜， 则|MF1|=4｜F1N｜， 解得｜DF1|=2｜F1N｜， 即

设N(x1，y1），由题意知y1＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．

即，即

代入椭圆方程得，

将b2=4a代入得解得a=7，b=

．

，

【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．

21．(12分）已知函数f(x）=ex﹣e﹣x﹣2x． （Ⅰ)讨论f(x）的单调性；

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（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时,g（x)＞0，求b的最大值; （Ⅲ）已知1.4142＜

＜1.4143,估计ln2的近似值(精确到0。001）．

【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后,利用基本不等式可达到目的;

对第（Ⅱ)问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在［0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x)＞0是否成立”的问题; 对第（Ⅲ)问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的情况下分别计算

的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2

，最后可估计ln2的近似值．

,

【解答】解：（Ⅰ)由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2即f′(x)≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0, ∴函数f（x)在R上为增函数．

（Ⅱ）g（x)=f（2x)﹣4bf(x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b(ex﹣e﹣x）+(8b﹣4）x， 则g′（x)=2［e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）] =2[（e+e)﹣2b(e+e）+（4b﹣4）］ =2(ex+e﹣x﹣2）(ex+e﹣x+2﹣2b）． ①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4,

∴当2b≤4，即b≤2时,g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号， 从而g(x）在R上为增函数,而g（0)=0， ∴x＞0时，g(x）＞0，符合题意． ②当

b＞2

时,若

x

满足

2＜ex+e

﹣

x

x

﹣x

2

x

﹣x

＜2b﹣2即，得

，此时，g′（x）＜0，

又由g(0）=0知，当

综合①、②知,b≤2，得b的最大值为2．

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时，g（x）＜0，不符合题意．

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（Ⅲ）∵1。4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x,

的近似值，故将ln

．

，

；

，得

＞2,当

,得

时，

．

即

代入g（x）的解析式中，

为了凑配ln2，并利用得

当b=2时,由g（x)＞0，得从而令

由g（x）＜0，得

所以ln2的近似值为0。693．

【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．

2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的判断,是解决本题的一个重要突破口．

3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g(x)的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4—1：几何证明选讲】

22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA,D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB2．

的范围的端点值，达到了估值的目的．

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【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；

（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE,

∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是

的中点，

∴BE=EC;

（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C, ∴PA2=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，

∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC，

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∴AD•DE=2PB2．

【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

【选修4—4：坐标系与参数方程】

23．在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标． 【分析】（1）利用

即可得出直角坐标方程,利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．

x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，

x+2垂直，根据(1）中你得到的

］

(2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．

【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈［0，C的普通方程为（x﹣1)2+y2=1（0≤y≤1）． 可得C的参数方程为

（t为参数，0≤t≤π）．

］，即ρ2=2ρcosθ，可得

（2）设D（1+cos t，sin t），由(1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆, ∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=故D的直角坐标为

，t=）．

．

，即(,

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【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

六、解答题(共1小题，满分0分）

24．设函数f（x）=｜x+｜+|x﹣a|（a＞0)． （Ⅰ）证明：f（x)≥2;

(Ⅱ）若f（3）＜5,求a的取值范围．

【分析】(Ⅰ）由a＞0,f（x）=｜x+|+｜x﹣a｜,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．

（Ⅱ）由f(3）=｜3+｜+｜3﹣a|＜5,分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值,求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=｜x+｜+｜x﹣a|≥|（x+)﹣（x﹣a）｜=｜a+｜=a+≥2

=2,

故不等式f（x）≥2成立．

（Ⅱ）∵f(3）=｜3+｜+|3﹣a|＜5,

∴当a＞3时,不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜当0＜a≤3时,不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得综上可得,a的取值范围（

，

）．

． ＜a≤3．

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

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