2018-2019学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学(理)试题 word版

2018—2019学年度下学期省六校协作体高二期中考试

数学（理）试题

=（ ）

D．{

}

一．选择题（每题5分）

1．若集合U=R，集合A{x|0x2}，B{x|x10}，则A．{

}

B．{

}

C．{

}

2．若复数z满足z(i1)2i（i为虚数单位），则z为（ ） A．1i 3．函数yB．1i

C．1i

D．1i

e|x|4cosx（e为自然对数的底数）的图象可能是

A． B. C． D．

4．在菱形ABCD中，若|ABAD|2，则CAAB等于( |AB|cosA )

A．2 B．－2 C．5．已知F为抛物线y2 D．与菱形的边长有关

4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在

抛物线上，且|AF|5，则|PA||PO|的最小值为（ ） A．

5 B．25

C．

13 D．213

1的最小值为（ ） 4y11C． D．

846．已知x,yR，且x2y40，则2xA．8 7．命题“A．

，

， B．

B．4

”的否定为（ ）

，

C．

，

D．

，

ax3,x18．在区间(0,6)中任取一个实数a，使函数f(x)，在R上是增函

(3a)xa7,x1数的概率为（ ）

- 1 -

A．

1 6B．

1 3C．

1 2D．

2 39．在正方体

所成角的余弦值为（ ）

中，若点M为正方形ABCD的中心，则异面直线AB1与D1M33622A． B． C． D．

363610．在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，a4，b． ccosB(2ab)cosC，则ABC的面积为（ ）A．223，且

3 B．43

C．6 D．12

11．已知函数

f(x)ex(xaex)恰有两个极值点x1,x2(x1x2)，则a的取值范围是（ ）

B．(1,3)

1A．(0,)

21C．(,3)

21D．(,1)

2x2y212．过双曲线C:221(a0,b0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且

abFN3FM，若OMFN，则C的离心率为（ ）

A．2

B．

10 C．3

D．

7

二．填空题（每题5分）

13．设曲线yxaln(x1)在点(0,0)处的

切线方程为y2x，则a_______．

xy014．若x,y满足约束条件xy20，

y0则z3x2y的最小值为__________.

15．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒

- 2 -

成立，则m的最小值为______．

16．已知点A,B,C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，则当三棱锥OABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为____． 三．解答题

17．（12分）已知等差数列{an}的前项和为Sn，a3a518，S3S550.数列{bn}为

等比数列，且b1a1，3b2a1a4.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）记cn42，其前n项和为Tn，证明：Tn. 2(log3bn3)an318．（12分）某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）： 空气质量指数 空气质1级优 量等级 2级良 染 染 染 染 3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.

（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？

- 3 -

（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；

（3）从这10天的数据中任取三天数据，记X表示抽取空气质量良的天数，求X的分布列和期望.

19．（12分）如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PA1，ABAC2，D为BC的中点，过点D作DQ平行于

AP,且DQ1.连接

QB,QC,QP.

(1)证明：AQ⊥平面PBC；

(2)求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值. (3)求二面角BAQC的余弦值.

20．（12分）已知椭圆C：

(ab0)的离心率为3，A1，A2分别为椭圆Cx2y22122ab的左、右顶点，点P(2,1)满足(1)求椭圆C方程；

PA1PA21.

(2)设直线l经过点P且与C交于不同的两点M、N，试问：在x轴上是否存在点Q,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由.

- 4 -

21．（12分）已知函数f(x)axlnxbx(a,bR)在点(e,f(e))处的切线方程（1）求a，b的值及函数f(x)的极值； y3xe．

（2）若mZ且f(x)m(x1)0对任意的x1恒成立，求m的最大值． 22．（二选一，从22题和23题选一道作答）（10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]

3x2t5 (t为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐

已知曲线l的参数方程为y14t5标系,曲线C的极坐标方程为42cos((1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设P(2，1).直线l与曲线C交于点

4).

A，B.求|PA||PB|的值.

23．（10分）已知函数f(x)|xa||x1|． （1）当a2时，求不等式f(x)5的解集； （2）若x0R，f(x0)|2a1|，求实数a的取值范围.

- 5 -

理数参

1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．C 10．C 11．A 12．D 13．-1 14．0. 15．217．（1）（1）解：设

，的公差为

+1 16． ；（2）见解析

则由所以设因为所以所以

，的公比

，得，解得

，

且

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）证明：

因为，所以。。。。。。。。。。。。。。。。12分

；（3）见解析

18．（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）

（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天. 所以这10天中空气质量达到优良的概率为因为

，

，

所以11月中平均有9天的空气质量达到优良．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

（2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件，

则

，

- 6 -

即恰好有一天空气质量良的概率．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 （3）由题意得的所有可能取值为0，1，2，

；

；

．

所以的分布列为： 0 1 2 所以

． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

19．（1）详见解析；（2）.（3）13 (Ⅰ)连接AD,PD,由PA⊥平面ABC得PA⊥AD, 因为PA//DQ且PA=DQ，即四边形ADQP为矩形， 又AB=AC＝

，AB⊥AC，则AD＝1=AP,

所以四边形ADQP为正方形，AQ⊥PD 且BC⊥AD, BC⊥DQ,则BC⊥平面ADQ, 即BC⊥AQ 故AQ⊥平面PBC. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 (Ⅱ)（向量法）建立如图所示直角坐标系，则

，则

设平面ABQ的的法向量为

于是

- 7 -

（几何法）由于则所以

（3）（3）20．（1）（1）依题意，由

， 且

于是C点到平面ABQ的距离

,

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 3 ； （2）Q（2，0），1 .

，P（2，-1），所以

2

2

=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a,

2

2

=1，a>0,得a=2,因为e=，所以c=，b=a-c=1，结果为，进

而得到最终结果. 故椭圆C的方程为

.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，

因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），

由消y，得（1+4k）x-（16k+8k）x+16k+16k=0，

2222

△=-k>0,所以k<0,

设因为

，则x1+x2=

=

,x1x2=,

==，

为定值，则只有t=2，此时

=1.

所以要使对任意满足条件的k，

- 8 -

故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.。。。。。。。12分 21．（1），

,f(x)极小值为

；（2）3.

【详解】

，

，

函数

在点处的切线方程为

，

，解得，

． ，则

，

由，得

． 当时，

，当

时，．

在上为减函数，在上为增函数，

则当时，函数取得极小值为

；

当时，由

，得

．

令， 则， 设，则，

在

上为增函数，

，，

，且

， 当时，，，

在上单调递减；

当

时，

，，

在

上单调递增．

， ， ，

，

- 9 -

，

的最大值为3．

22．（1）；（2）7 （1）由得，

∴， 又，

∴

即曲线的直角坐标方程为

．。。。。。。。5分（2）将代入的直角坐标方程，得，

∴

，

设，两点对应的参数分别为，

∴．

则. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 23．（1）（2）

解：（1）当时，，

①当时，

，解得； ②当时，，显然成立，所以；

③当

时，，解得

，

综上所述，不等式的解集为，。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2，

因为，有

成立，所以只需，

化简得

，解得

，

所以a的取值范围是

．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

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