沪科版九年级上册数学期中考试试题及答案

一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1． 将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是 A．y=x2-2x-1 2．若

B．y=x2+2x-1

C．y=x2-2

D．y=x2+2

x2＝，则下列各式不成立的是（ ） y3B．

A．

xy5＝ y3yx1＝ y3C．

x1＝ 2y3D．

x13＝ y143．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝＞

k图象交于M、N两点，则不等式ax+bxk解集为( ) x

A．x＞2或﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2

B．﹣1＜x＜0 D．x＞2

4．如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE:S四边形DBCE=1:8，那么AE:AC等于（ ）

A．1:9 B．1:3

C．1:22 D．1:8

1

5．如图，A为反比例函数y的值为（ ）

k

图象上一点，AB垂直于x轴于点B，若S△AOB3，则kx

A．6 B．3 C．3 2D．不能确定

C2,y3在函数y2(x1)26．已知A1,y1，B2,y2，

y3的大小关系是（ ）

A．y1>y2>y3

B．y1>y3>y2

C．y3>y1>y2

1的图象上，则y1，y2，2D．y2>y1>y3

7．在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）

A． B． C． D．

8．一次函数y＝ax+b和反比例函数yab在同一直角坐标系中的大致图象是（ ） xA． B．

2

C． D．

9．已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：

x 1 3 0 1 3 1 y 1 3 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x1；③当x1时，函数值y随x22的增大而增大；④方程ax2bxc0有一个根大于4；⑤若ax1bx1ax2bx2，且

x1x2，则x1x23．其中正确的结论有（ ）

A．①②③

B．①②③④⑤

C．①③⑤

D．①③④⑤

10．如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点

Q.BPx，CQy，那么y与x之间的函数图象大致是( )

A． B．

B．C． D．

3

二、填空题

11．已知函数ym1xm213x，当m__________时，它是二次函数．

12．如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米.

13．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y1225xx．则他将铅球推出的距离是__________m． 1233

14．如图，在RtABC中，ACB90，AB5，AC4，E，F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当ADE恰好为直角三角形时，BE的长为__________．

三、解答题

15．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+6． (1)用配方法求出函数的顶点坐标；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

4

16．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，求井深BD．

17．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． (1)求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？

18．如图，一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积．

k的图象交于A(1，m)、B(4，n)两点． x

19．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段

5

DE上一点，且∠AFE＝∠B，

(1)求证：△ADF∽△DEC

(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

20．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”． (1)求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”； (2)求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．

21．如图在锐角ABC中，BC6，高AD4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MNBC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MNx，正方

形MPQN与ABC公共部分的面积为y．

（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值．

（2）如图（2），当PQ落ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？

6

22．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件,每件售价300元.若一次性购买不超过10件时,售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元． （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？

23．如图，矩形ABCD中，AB3，BC2，点M在BC上，连接AM点N在直线AD上，且AMNAMB，MN交CD于点E． （1）求证：AMN是等腰三角形； （2）求证：AM22BMAN； （3）当M为BC中点时，求ME的长．

参

1．C 【分析】

7

抛物线y=x2-2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可． 【详解】

解：根据题意y=x2-2x+1=（x-1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x-1+1）

2

-2，y=x2-2．

故选：C． 【点睛】

此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力． 2．D 【分析】

根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】 ：∵

xy23， ∴设x＝2k，y＝3k， A.

xyy2k3k3k53，正确，故本选项错误； B.

yx3k2k1y3k3，正确，故本选项错误； C.x2y2k23k13，正确，故本选项错误； D.

x1y12k133k14，故本选项正确． 故选D． 【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 3．A 【分析】

根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】

8

解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞故选A． 【点睛】

k． x本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键． 4．B 【分析】

根据DE∥BC，可以得到△ADE∽△ABC，通过S△ADE：S四边形DBCE=1：8，可以得到△ADE与△ABC的面积的比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】 解：∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC，

又∵S△ADE：S四边形DBCE=1：8， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∴AE：AC=1：3． 故选B. 【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．根据已知条件求出两个三角形的相似比是解决问题的关键． 5．A 【分析】

先设出A点的坐标，由△AOB的面积可求出xy的值，即xy=-6，即可写出反比例函数的解析式． 【详解】

解：设A点坐标为A（x，y）， 由图可知A点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， 又∵AB⊥x轴， ∴|AB|=y，|OB|=|x|，

9

∴S△AOB=

11×|AB|×|OB|=×y×|x|=3， 22∴-xy=6， ∴k=-6 故选A． 【点睛】

本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 6．B 【分析】

利用函数的对称性将A、B、C三个点放在对称轴同侧，利用函数增减性进行比较. 【详解】

解：由题可知抛物线对称轴为x=-1，则A点关于对称轴的对称点为（-3，y1），由于抛物线开口向上，则当x＜-1时，函数值y随x的增大而减小，故y1>y3>y2. 故选择B. 【点睛】

本题考察了运用二次函数对称性比较函数值大小. 7．D 【解析】

解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．

441AC631，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABCAB82AB84233AC633，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相AB8AB848221AC631，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABCAC63AB843221BC411，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABCBC42AB822不相似，故此选项错误； B．

似，故此选项错误； C．

不相似，故此选项错误； D．

相似，故此选项正确； 故选D．

10

点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 8．A 【分析】

先由一次函数的图象确定a、b的正负，再根据a-b判断双曲线所在的象限．能统一的是正确的，矛盾的是错误的． 【详解】

图A、B直线y=ax+b经过第一、二、三象限， ∴a＞0、b＞0，

bb，即直线y=ax+b与x轴的交点为（-，0） aab由图A、B的直线和x轴的交点知：-＞-1，

a∵y=0时，x=-即b＜a， 所以b-a＜0， ∴a-b＞0，

此时双曲线在第一、三象限，故选项B不成立，选项A正确； 图C、D直线y=ax+b经过第二、一、四象限， ∴a＜0，b＞0，

此时a-b＜0，双曲线位于第二、四象限， 故选项C、D均不成立； 故选A． 【点睛】

本题考查了一次函数、反比例函数的性质．解决本题用排除法比较方便． 9．C 【分析】

3，再由图象中的233数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，

223y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，

2根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=

y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，

11

得到

x1x23=，从而可以解答本题． 22【详解】

解：由表格可知，由表格可知，x=0和x=3时，函数值y都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x=当x=

033=， 223时，二次函数y=ax2+bx+c取得最大值， 23时，y随x的增大而增大，故③正确， 2x1x23=， 22∴抛物线的开口向下，故①正确，②错误； 当x＜

方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误， 若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则∴x1+x2=3，故⑤正确， 故选：C． 【点睛】

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确． 10．D 【详解】

试题解析：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6-x）2+y2，AQ2=（4-y）2+62； ∵△APQ为直角三角形，

∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6-x）2+y2=（4-y）2+62，化简得：y=−

123x+x 42整理得：y=−

91 (x−3)2+

44根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应． 故选D．

【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理． 11．1 【分析】

根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．

12

【详解】

解：∵y=（m-1）x m2+1是二次函数， ∴m2+1=2，

∴m=-1或m=1（舍去）． 故答案为：-1． 【点睛】

本题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m-1≠0． 12．6 【分析】

Rt△EDC∽Rt△FDC，根据题意，画出示意图，易得：进而可得代入数据可得答案． 【详解】

根据题意，作△EFC，

EDDC；即DC2=ED?FD，DCFD

树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12， 易得：Rt△EDC∽Rt△DCF， 有

EDDCFD， ，即DC2=ED×DCFD代入数据可得DC2=36， DC=6， 故答案为6． 13．10 【分析】

令y=0解方程，保留正值，即为该男生将铅球推出的距离． 【详解】 解：当y=0时，1225xx0 1233解得，x1=10，x2=-2（负值舍去），

13

∴该男生把铅球推出的水平距离是10m． 【点睛】

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 14．

1515或 78【分析】

先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC=6cm，再根据折叠的性质得到BE=DE，直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，△ADE恰好为直角三角形，有两种可能：①∠ADE=90°，②∠AED=90°，设BE=x，运用三角形相似列比例式解方程即可得解． 【详解】

解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4， ∴BC=3．

直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在BC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时， 根据折叠的性质：BE=DE 设BE=x，则DE=x，AE=10-x ①当∠ADE=90°时，则DE∥BC，

DEAE=， CBABx5x∴=， 3515

解得：x=，

8

∴

②当∠AED=90°时， 则△AED∽△ACB，

DEAE=， BCACx5x∴=， 3415解得：x=，

7∴

故所求BE的长度为：

1515或. 78 14

故答案为：

1515或. 78

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，能够全面的思考问题进行分类讨论是本题的关键．

15．(1)(﹣1，8)；(2)将抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)． 【分析】

（1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，从而求出顶点坐标；（2）根据二次函数的与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点； 【详解】

解：(1)∵y＝﹣2x2﹣4x+6

∴y2(x22x11)62(x1)28 ∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，8)；

(2)当y＝0时，﹣2(x+1)2+8＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6与x轴的交点坐标为(1，0)，(﹣3，0)，

所以将抛物线y＝﹣2x2﹣4x+6向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点， 平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)． 【点睛】

本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数的平移，掌握配方法的方法

b2b2b24acb22byaxbxcaxx()()ca(x) 是解题关键.

a2a2a2a4a216．BD＝57.5尺． 【分析】

根据相似三角形的性质求得AD的长度，进而求解.

15

【详解】

解：依题意可得：CB∥ED ∴△ABF∽△ADE，

ABBF， ADDE50.4即， AD5∴

解得：AD＝62.5，

BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．

【点睛】

掌握相似三角形对应边成比例是本题的解题关键. 17．(1)抛物线解析式为y＝﹣【分析】

（1）根据题意确定抛物线顶点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）由抛物线对称轴直线x=5分析，船宽2米时，计算x=6是函数值是否大于3即可求解. 【详解】 (1)根据题意，得

抛物线的顶点坐标为(5，4)，经过(0，0)， ∴设：抛物线解析式为y＝a(x﹣5)2+4， 把(0，0)代入，得 25a+4＝0，解得a＝428x+x；(2)货船能从桥下通过． 2554， 254428 (x﹣5)2+4＝x+x． 25255所以抛物线解析式为：y＝ (2)货船能从桥下通过．理由如下：

16

由（1）可知，抛物线对称轴为直线x=5,又∵货船宽为2米，高为3米， ∴当x＝6时，y＝∵3.84＞3，

∴货船能从桥下通过． 答：货船能从桥下通过． 【点睛】

此题考查待定系数法求函数解析式，及二次函数的实际应用，根据二次函数对称轴及船宽，求当x=6时的函数值是解题关键.

18．(1)A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)，反比例函数解析式为y2＝【分析】

（1）将A,B两点坐标代入一次函数解析式求解，然后用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）设一次函数图象与x轴交于点C，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC 求解. 【详解】

(1)分别把A(1，m)、B(4，n)代入y1＝﹣x+5， 得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，

所以A点坐标为(1，4)，B点坐标为(4，1)， 把A(1，4)代入y2＝

4(6﹣5)2+4＝3.84， 254；(2)7.5. xk4＝4， ，得k＝1×

x所以反比例函数解析式为y2＝

4； x(2)如图，设一次函数图象与x轴交于点C，

当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为(5，0)， 所以S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC ＝

11×5×4﹣×5×1＝7.5． 22 17

【点睛】

掌握待定系数法求函数解析式及三角形面积公式，数形结合的思想解题是本题的解题关键. 19．（1）见解析（2）AF=23 【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180,∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC ∴

AD2AE2(33)2326

ADAF33AF∴ DECD∴AF=23 20．(1)抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；(2)抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为【分析】

（1）根据题意将抛物线化成顶点式，找到函数最值即可求解；（2）取P点为抛物线y＝x2

18

3． 4﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，分析PQ的长度，得到二次函数解析式，求其顶点坐标即可. 【详解】

(1)∵y＝(x﹣1)2+1，

∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1， ∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；

(2)如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q， 设P(t，t2﹣2t+2)，则Q(t，t﹣1)， ∴PQ＝t2﹣2t+2﹣(t﹣1)＝t2﹣3t+3＝(t﹣

323)+， 24当t＝

33时，PQ有最小值，最小值为， 243． 4∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为

【点睛】

充分理解题意“和谐值”的含义即函数最值的绝对值是本题的解题关键.

122yx24x2.4x6，时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；（2）

35当x3时，y最大6

21．（1）当x【分析】

（1）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式即可．

（2）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式． 【详解】

19

解：（1）设AD与MN相交于点H， ∵MNBC，

∴△AMN∽△ABC，

∴

AHADMN4xBC，即4x6， 解得，x125，

当x125时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；

（2）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F， 设Da，则A4a，

由∴

AHMN4axADBC，即x6， 解得，a23x4，

∵矩形MEFN的面积MNHD， ∴yx23x4223x4x2.4x6

y23x326 ∴当x3时，y最大6.

20

【点睛】

本题结合相似三角形的性质及矩形面积计算方法，考查二次函数的综合应用，解题时，要始终抓住相似三角形对应边上高的比等于相似比，表示相关边的长度． 22．（1）、y={【详解】

试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可．

100x(0x10，且x为整数)3x2130(10x30,且x为整数)；（2）、22件.

300x200x100x(0x10,且x为整数)试题解析：（1）y{，

[3003(x10)200]3x2130x(10＜x30,且x为整数)（2）在0≤x≤10时，y=100x，当x=10时，y有最大值1000； 在10＜x≤30时，y=-3x2+130x， 当x=21

2时，y取得最大值， 3∵x为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y有最大值1408． ∵1408＞1000，

∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多． 考点：二次函数的应用．

23．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）ME【分析】

（1）由矩形的性质得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，由已知∠AMN=∠AMB，得出∠AMN=∠NAM，即可得出结论；

（2）由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC=2，AB=CD=3，由平行线的性质得出∠NAM=∠BMA，作NH⊥AM于H，由等腰三角形的性质得出AH=△NAH∽△AMB，得出（3）求出BM=CM=

5 41AM，证明2ANAH=，即可得出结论； AMBM11BC=×2=1，由（2）得AM2=2BM•AN，得出AM2=2AN，由勾股22定理得出AM2=AB2+BM2=10，求出AN=5，得出DN=AN-AD=3，设DE=x，则CE=3-x，证明△DNE∽△CME，得出即可得出答案．

21

9DNDE3=，求出DE=，得出CE=DC-DE=，再由勾股定理

4CMCE4【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴NAMBMA，又AMNAMB， ∴AMNNAM，

∴ANMN，即AMN是等腰三角形； （2）解：作NHAM于H， ∵ANMN，NHAM， ∴AH12AM， ∵NHAABM90，AMNAMB，∴△NAH∽△AMB， ∴

ANAMAHBM， ∴ANBMAHAM1AM22 ∴AM22BMAN

（3）解:∵M为BC中点， ∴BMCM12BC1，

由（2）得，AM22BMAN， ∵AM2321210， ∴AN5， ∴DN523，

设DEx，则CE3x， ∵ANBC，

∴

DNCMDECE，即31x3x， 解得，x994，即DE4， ∴CE34， ∴MECE2CM254． 22

【点睛】

本题是相似形综合题目，考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用、等腰三角形的性质和矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，证明三角形相似是解题的关键．

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