初一数学—‘新定义’题型专题训练
1．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f（x）＝x2+3x﹣5，把x＝某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x＝﹣1时多项式x2+3x﹣5的值记为f（﹣1）＝（﹣1）2+3×（﹣1）﹣5＝﹣7． （1）已知g（x）＝﹣2x2﹣3x+1，分别求出g（﹣1）和g（﹣2）值． （2）已知h（x）＝ax3+2x2﹣x﹣14，h（）＝a，求a的值．
2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程 x+2|x|＝3
解：当x≥0时，方程可化为：x+2x＝3
【
解得x＝1，符合题意．
当x＜0时，方程可化为：x﹣2x＝3解得x＝﹣3，符合题意． 所以，原方程的解为：x＝1或x＝﹣3． 仿照上面解法，解方程：x+3|x﹣1|＝7．
3．试验与探究：我们知道分数写为小数即0.，反之，无限循环小数0.写成分数即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.为例进行讨论：设0.＝x，由0.＝…，可知，10x﹣x＝…﹣…＝7，即10x﹣x＝7，解方程得
，于是得0.＝．
请仿照上述例题完成下列各题：
>
（1）请你把无限循环小数0.写成分数，即0.＝ ． （2）你能化无限循环小数0.
为分数吗请仿照上述例子求解之．
4．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号例如：
＝1×4﹣2×3＝﹣2，
的意义是
＝ad﹣bc
＝（﹣1）×6﹣3×5＝﹣21．按照这个规
定，解答下列问题： （1）计算
的值；
的值；
（2）计算：当5x2+y＝7时，
~
＝，求x的值．
（3）若
5．如图所示，将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字形框框出5个数．
探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数的和用含x的整式表示为 ，这说明被十字框框中的五个奇数的和一定是正整数p（p＞1）的倍数，这个正整数p是 ．
探究规律二：落在十字框中间且位于第二列的一组奇数是15，27，39…，则这一组数可以用整式表示为12m+3 （m为正整数），同样，落在十字框中间且位于第三列的一组奇数可以表示为 ；（用含m的式子表示） 运用规律
（1）被十字框框中的五个奇数的和可能是625吗若能，请求出这五个数，若不能，请说明理由．
—
（2）请问（1）中的十字框中间的奇数落在第几行第几列
6．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点M表示的数为
．
【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣40和20，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
~
（1）运动开始前，A、B两点的距离为 ；线段AB的中点M所表示的数为 ．
（2）它们按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么
（3）当t为多少时，线段AB的中点M表示的数为﹣5并直接写出在这一运动过程中点M的运动方向和运动速度．
7．某县“贡江新区”位于贡江南岸，由长征出发地体验区、文教体育综合区、贡江新城三大板块组成，与贡江北岸老城区相呼应，构建成“一江两岸”的城市新格局．为建设市民河堤漫步休闲通道，贡江新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲：12x+8（20﹣x）＝180；乙：
]
+＝20．
根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出代数式表示的意义． 甲：x表示 ，20﹣x表示 ； 乙：x表示 ，180﹣x表示 ．
（2）请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度．写出完整的解答过程．
8．我们知道：|a|表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a|＝|a﹣0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a﹣1|小明的想法是否正确呢让我们一起来探究吧!
步骤一：实验与操作：
（1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格
`
3 ﹣5 5 ﹣10 ﹣ …
a b
)
0 ﹣1 2 ﹣ …
7
A、B两点之间的距离
4
%
…
5
步骤二：观察与猜想：
（2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）
步骤三：理解与应用：
~
（3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度之比是3：2（速度单位：1个单位长度/秒）．
①求两个动点运动的速度；
②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．
参与试题解析
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1．【解答】解：（1）由题意得：g（﹣1）＝﹣2（﹣1）2﹣3×（﹣1）+1＝2； g（﹣2）＝﹣2（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝﹣1． （2）由题意得：a+﹣﹣14＝a， 解得：a＝﹣16．
2．【解答】解：当x＜1时，方程可化为：3﹣2x＝7 解得x＝﹣2，符合题意．
当x≥1时，方程可化为：x+3x﹣3＝7， 解得x＝，符合题意．
/
所以，原方程的解为：x＝﹣2或x＝．
3．【解答】解：（1）设0.＝x，由0.＝…，可知， 10x﹣x＝…﹣…＝5，即10x﹣x＝5， 解方程得， 于是得：0.＝； （2）设0.100x﹣x＝解方程得
(
＝x，由0.…﹣
＝0.…，可知，
＝73，即100x﹣x＝73，
＝
．
，于是得0.
4．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣40+42＝2；
（2）根据题中的新定义得：原式＝﹣3x2﹣3y﹣2x2+2y+2＝﹣5x2﹣y+2， 把5x2+y＝7代入得：原式＝﹣7+2＝﹣5； （3）已知等式整理得：﹣3x﹣6﹣6x+2＝， 移项合并得：﹣9x＝，
解得：x＝﹣．
5．【解答】解：探究规律一：设十字框中间的奇数为x，则框中五个奇数中其它四个数分别为x﹣12、x﹣2、x+2、x+12，
∴框中五个奇数的和为x﹣12+x﹣2+x+x+2+x+12＝5x，
>
∴这个正整数p是5． 故答案为：5x；5．
探究规律二：∵落在十字框中间且位于第二列的数为12m+3， ∴落在十字框中间且位于第三列的数为12m+3+12＝12m+15． 故答案为：12m+15．
（1）假设能，根据题意得：5x＝625， 解得：x＝125，
∴假设成立，其它四个数为：x﹣12＝113，x﹣2＝123，x+2＝127，x+12＝137．
【
∴这五个数分别为113、123、125、127、137． （2）∵125＝2×63﹣1， ∴125为该数表的第63个数． 又∵63＝6×10+3，
∴（1）中的十字框中间的奇数落在第11行第3列．
6．【解答】解：（1）根据题意可知，运动开始前，A、B两点的距离AB＝|﹣40﹣20|＝60；
线段AB的中点M所表示的数为：
；
（2）设它们按上述方式运动，A、B两点经过x秒会相遇，则
…
点A运动x秒后所在位置的点表示的数为﹣40+3x；点B运动x秒后所在位置的点表示的数为20﹣2x；
根据题意，得：﹣40+3x＝20﹣2x 解得 x＝12，
∴它们按上述方式运动，A、B两点经过12秒会相遇，
相遇点所表示的数是：﹣40+3x＝﹣40+3×12＝﹣4； 答：A、B两点经过12秒会相遇，相遇点所表示的数是﹣4． （3）根据题意，得：解得 t＝10，
*
，
∵t＝0时，中点M表示的数为﹣10；t＝10时，中点M表示的数为﹣5； ∴中点M的运动方向向右，运动速度为
．
答：经过10秒，线段AB的中点M表示的数是﹣5．M点的运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度． 故答案为：（1）60，﹣10．
7．【解答】解：（1）由题意得，第一个方程为12x+8（20﹣x）＝180，x表示A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间； 第二个方程为
+
＝20，x表示A工程队整治河堤的米数，180﹣x表示B
工程队整治河堤的米数；
故答案为：A工程队用的时间，20﹣x表示B工程队用的时间；A工程队整治河堤的米数，B工程队整治河堤的米数； （2）设A工程队用的时间为x天，
：
根据题意，得12x+8（20﹣x）＝180， 解得：x＝5，
12x＝12×5＝60，8（20﹣x）＝8×（20﹣5）＝120， 答：A工程队整治河堤60数，B工程队整治河堤120米．
8．【解答】解：（1）5﹣（﹣1）＝6；2﹣（﹣10）＝12；﹣﹣（﹣）＝4； 依次为6，12，4；
（2）A、B两点之间的距离可以表示为|a﹣b|（也可以表示为|b﹣a|）； 故答案为：|a﹣b|；
（3）①设动点A、B的速度是3x，2x， 可得：9x+6x＝15，
解得：x＝1，
答：动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒；
②因为动点A运动的速度为3个单位长度/秒，动点B运动的速度为2个单位长度/秒，
所以点A为﹣9．点B为6，如图：
③设经过t秒后，A，B两动点之间相距4个单位长度．
显然，动点A、B同时向左运动或者同时仍按原方向运动都不符合题意． 所以：（ I）当动点A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6+2t，
根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6+2t）|＝4，即t＝19或t＝11
（ II）当动点A向右运动，动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是﹣9+3t、6﹣2t，
根据题意得：|（﹣9+3t）﹣（6﹣2t）|＝4，即答：经过11秒或19秒或
秒或秒后，A、B两动点之间相距4个单位长度．
