测评网数学竞赛-小学奥数辅导练习卷找出数列的排列规律(一

找出数列的排列规律（一）

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。 （一）思路指导

例1. 在下面数列的（ ）中填上适当的数。 1，2，5，10，17，（ ），（ ），50 分析与解：

这个数列的排列规律是什么？我们逐项分析： 第一项是：1

第二项是：2，211第一项1 第三项是：5，523第二项3 第四项是：10，1055第三项5

„„

可以看出，这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9„„，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：

第一个括号里应填17926；第2个括号里应填261137。

例2. 自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列： 1，4，7，10„„

问：第100个数是多少？ 分析与解：

这个题由于数太多，很难像例1那样递推，我们可以换一种思路：

数列中每相邻两个数的差都是3，我们把这样的数列叫做等差数列。我们把“3”叫做这个等差数列的公差。

观察下面的数列是等差数列吗？如果是，它们的公差是几？ （1）2，3，4，5，6，7„„

（2）5，10，15，20，25，30„„ （3）1，2，4，8，16„„

（4）12，14，16，18，20„„

现在我们结合例2找一找每一项与第一项，公差有什么关系？

第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，„„依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是110013298。 由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：

第一项＋（这项的项数－1）×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。 试试看：你能求出数列3，5，7，9„„中的第92个数是多少吗？

例3. 已知一列数：2，5，8，11，14，„„，44，„„，问：44是这列数中的第几个数？ 分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，„„，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。 由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

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（这一项－首项）÷公差＋1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。 试试看：数列7，11，15，„„195，共有多少个数？

例4. 观察下面的序号和等式，填括号。

序号 等式

1 2 3 4  （ ）

123635715581124 7111533( )+( )+7983=( )

分析与解：

表中等式的第1个加数是1，3，5，7，9„„，是一个等差数列，公差是2，第二个加数也是一个等差数列，公差是3，第三个加数也是一个等差数列，公差是4，和同样是一个等差数列，公差是9。由于第三个加数的最后一项是7983，可以根据等差数列的项数公式求出7983是3，7，11，15„„这个等差数列的第几项，也就是序号。79833411996。这样我们就可以分别求出各个等差数列的第1996项是多少了，利用通项公式：

11996123991 21996135987

619961917961 综上所述，括号里应填的数是：

（1996） （3991）＋（5987）＋7983＝（17961）

例5. 已知数列1，4，3，8，5，12，7，16，„„，问：这个数列中第1997个数是多少？第2000个数呢？

分析与解：从整体观察不容易发现它的排列规律，注意观察这个数列的单数项和双数项，它们各自的排列规律为： 单数项：1，3，5，7，„„ 双数项：4，8，12，16，„„ 显然，它们各自均成等差数列。

为了求出这个数列中第1997个数和第2000个数分别是多少，必须先求出它们各自在等差数列中的项数，其中：

第1997个数在等差数列1，3，5，7，„„中是第(19971)2999个数； 第2000个数在等差数列4，8，12，16，„„中是第200021000个数。 所以，第1997个数是1999121997。 第2000个数是41000144000

［答题时间：40分钟］ （二）尝试体验 1. 按规律填数。

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（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49； （3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34； （5）2，7，22，，193，（ ）。

2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。 4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„； （2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。

请做完之后，再看答案

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【试题答案】

（二）尝试体验 1. 按规律填数。

（1）1，2，4，（ ），16；

（2）1，4，9，16，（ ），36，49； （3）0，3，7，12，（ ），25，33；

（4）1，1，2，3，5，8，（ ），21，34； （5）2，7，22，，193，（ ）。 答案：

（1）后一个数是前一个数的2倍：1，2，4，（8），16；

（2）从1开始自然数的平方数：1，4，9，16，（25），36，49；

（3）相邻两个数的差是逐渐增加的：0，3，7，12，（18），25，33； （4）前两个数之和等于后面的数：1，1，2，3，5，8，（13），21，34； （5）后一个数总是前一个数的3倍多1：2，7，22，，193，（580）。 2. 数列3，6，9，12，15，„„，387共有多少个数？其中第50个数是多少？

387331129

35013150 答：共有129个数，其中第50个数是150。

3. 有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），„„，求第100组的三个数之和。 每组第1个数是按自然数顺序排列的，公差是1的等差数列 每组第2个数是平方数 每组第3个数是立方数

第100组的三个数之和是1001001001010100

4. 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）6，12，3，27，21，10，15，30，„„； （2）2，3，5，8，12，16，23，30，„„。 答案：

（1）这列数中每一个数都是3的倍数，只有10不是。 （2）这列数中从第2项起，每一项都等于相邻的前一项分别加上1，2，3，4，5，„„，这样第6个数应该是12+5=17，不是16。所以，16是“与众不同”的数。

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