斐波那契数列
斐波那契是中世纪占主导地位的数学家之一，他在算术、代数和几何等方面多有贡献(他生于比萨的列奥纳多家族(1175-1250)，是一位意大利海关设在南部非洲布吉亚的的儿子(由于他父亲的工作，使他得以游历了东方和阿拉伯的许多城市(而在这些地区，斐波那契熟练地
阿拉伯的十进制系统，该系统具有位置值并掌握了印度—
使用了零的符号(在那时，意大利仍然使用罗马数字进行计算(斐波那契看到了这种美丽的印度—阿拉伯数字的价值，并积极地提倡使用它们(公元1202年，他写了《算盘书》一书，这是一本广博的工具书，其中说明了怎样应用印度—阿拉伯数字，以及如何用它们进行加、减、乘、除计算和解题，此外还对代数和几何进行了进一步的探讨(意大利商人起初不愿意改变老的习惯，后来通过对阿拉伯数字不断地接触，加上斐波那契和其他数学家的工作，终使印度—阿拉伯数字系统得以在欧洲推广，并被缓慢地接受(
斐波那契数列——1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
具有讽刺意味的是:斐波那契在今天的著名，是缘于一个数列(而这个数列则来自他的《算盘书》中一道并不出名的问题(他当时写这道题只是考虑作为一个智力练习(然而，到了19世纪，法国数学家E?卢卡斯出版了
一部四卷本的有关娱乐数学方面的著作时，才把斐波那契的名字，加到该问题的解答和所出现的数列上去(
《算盘书》中引致斐波那契数列的问题是:
1)假定一个月大小的一对兔子(雄和雌的)，对于繁殖还太年轻，但两个月大小的兔子便足够成熟(又假定从第二个月开始，每一个月它们都繁殖一对新的兔子(雄和雌的)(
2)如果每一对兔子的繁殖都按上面说的同样的方式(试问，从开始起每个月有多少对兔子呢,
兔子的对数
1,F= 第一个斐波那契数 1
1,F= 第二个斐波那契数 2
2,F= 第三个斐波那契数 3
3,F= 第四个斐波那契数 4
5=F=第五个斐波那契数 5
斐波那契数列的每一项，都等于它前两项的和(用公式表示为:
F=F+F nn-1n-2
通项公式:
那时，斐波那契并没有去研究这种数列的结果，从而他没有给出任何真正有意义的东西(一直到19世纪，当数学家们开始对这个数列感兴趣时，它的性质和它所触及的领域，才开始显现出来(
斐波那契数列出现在:
1)杨辉(帕斯卡)三角形，二项展开式和概率(
2)黄金比值和黄金矩形(
3)自然和植物(
4)使人感兴趣的数学戏法(
5)数学恒等式(
斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的。
(1)细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数:延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。 (2)细察以下花的类似花瓣部分，它们也具有斐波那契数:紫宛、大波斯菊、雏菊。
斐波那契数经常与花瓣的数目相结合: 3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
8………………………翠雀花
13………………………金盏草
21………………………紫宛
34，55，84……………雏菊
(3)斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直到到达与那息叶子正对的
位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的
圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词，意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
(4)斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外，你能发现一些连续的鲁卡斯数吗,
(5)菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。
斐波那契数列与黄金比值
相继的斐波那契数的比的数列:
它们交错地或大于或小于黄金比 的值。该数列的极限为 。这种联系暗示了无论(尤其在自然现象中)在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线，那里也就会出现斐波那契数，反之亦然。
有一根长度为143厘米的铁丝截成n段，每段至少一厘米长，且任意三段都不能构成三角形，试判断最多截多少段,
答案:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55
这是一个斐波那契数列，很著名的一个数列。
趣谈斐波那契数列
斐波那契是意大利的一位著名数学家，1202年，他在所著的《算盘节》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题(
假定一对小兔子经过一个月后能够长成一对大兔子，而一对大兔子经过一个月后能够生了一对小兔子(现在我们从一对小兔子开始，用 表示第 个月兔子的总对数，显然， (第1个月只有一对小兔子，第2个月只有一对大兔子)， (第3个月一对大兔子生出一对小兔子，总共两对兔子)，……我们用下面表示兔子的繁殖规律，图中?表示一对小兔子，?表示一对大兔子，实箭头表示一对小兔子长大成为一对大兔子或表示一对大兔子照样生长，虚箭头表示于对大兔子生出一对小兔子(
于是我们得到一个数列:1，1，2，3，5，8，13，…
仔细观察这个数列，从第3项起每一项都是它前相邻两项的和，它的递推公式是:
根据这个递推公式我们不难计算了，
这就是著名的斐波那契数列(
斐波那契数列有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏(
1(从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数是第四位:
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数 表示出来(
2(我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中草药一虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列:
3(在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质:
前n项和
4(在植物王国中，也可以找到斐波那契数列的踪迹(我们来看看下文中提到的叶序现象，它刻画了植物的叶子在枝干上的排列(
图是一根樱树的枝条，假如用一根细线，从它的一片叶子连到下一片，然后沿枝条的方向环绕着再连到了相对原先的初始位置，接着进入第二个轮回(
叶子的排列，能够用以下的叶序分数来表示:
从图可以看出，樱树的叶序分数为 ，观察一些其他植物可以发现:榆树的叶序分数为 ，郁金香的叶序分数为 ，梨树的叶序分数为 ，柳树的叶序分数为 (叶序分数为 这样的比，在许多玫瑰类植物及松果鳞片的排列中都可以看到(
极为有趣的是，所有的叶序分数都是斐波那契数列中交错的两项组成，除非损坏或异常的扭曲而改变了那里的整个排列，不然的活，绝对找不出一种植物，其叶序分数，会与这一规律相违背，这种大自然的鬼斧神工，真是令人惊叹不已～
