三江侗族自治县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

三江侗族自治县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知函数

，函数

，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

2． 过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（ A．8

B．10

C．6

D．4

3． 已知数列，则5是这个数列的（ ）

A．第12项

B．第13项

C．第14项

D．第25项

4． 设a,b,cR，且ab，则（ ） A．acbc B．

1a1

b

C．a2b2 D．a3b35． 设Sn是等比数列{an}的前n项和，S4=5S2，则的值为（ ）

A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2

6． 下面各组函数中为相同函数的是（ ）

A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

B．f（x）=，g（x）=

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=

7． 若a＞0，b＞0，a+b=1，则y=+的最小值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

8． 已知f（x）=，则f（2016）等于（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

9． 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)，对x1,x2[0,3]且x1x2，都有

f(x1)f(x2)xx0，则有（ ）

12第 1 页，共 16 页

） 精选高中模拟试卷

A．f(49)f()f(81) B．f(49)f(81)f() C. f()f(49)f(81) D．f()f(81)f(49) 10．若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ） A．（2，4）

B．（2，﹣4）

C．（4，﹣2）

D．（4，2）

11．直线x﹣2y+2=0经过椭圆 A．

12．若双曲线A．

B．

﹣

B．

C．

的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）

D．

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）

D．2

C．

二、填空题

13．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．

14．设函数f（x）=

，则f（f（﹣2））的值为 ．

2

）an+sin

15．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 16．Sn=

+

+…+

= ．

，则该数列的前16项和为 ．

17．长方体ABCDA1BC11D1中，对角线AC1与棱CB、CD、CC1所成角分别为、、， 则sin2sin2sin2 ． 18．已知函数f（x）=

恰有两个零点，则a的取值范围是 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=x3+x．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

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20．已知函数f（x）=|x﹣2|． （1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2

（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）

21．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数fxax2a1xlnx，aR．

2⑴若曲线yfx在点1,f1处的切线经过点2,11，求实数a的值； ⑵若函数fx在区间2,3上单调，求实数a的取值范围； ⑶设gx

1sinx，若对x10,，x20,π，使得fx1gx22成立，求整数a的最小值． 8第 3 页，共 16 页

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22．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 6 10 12 12 5 5 频数 赞成人数 3 6 10 6 4 3 （1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值； （2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

23．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．

（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；

（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：

18 19 20 21 22 周需求量n 频数 1 2 3 3 1 X表示当周的利润以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，（单位：元），求X的分布列及数学期望．

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24．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|． （1）求Sn的最小值及相应n的值； （2）求Tn．

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三江侗族自治县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，

2

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，

若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：

22

则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．

22

当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22

当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，

故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，

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则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．

2． 【答案】A

【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，

2

∵抛物线y=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点

∴|AB|=2﹣（x1+x2）， 又x1+x2=﹣6

∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8 故选A

3． 【答案】B

【解析】

由题知，通项公式为

答案：B

4． 【答案】D 【

解

析

】

，令

得

，故选B

考

点：不等式的恒等变换.

5． 【答案】C

【解析】解：由题设知a1≠0，当q=1时，S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立． 当q≠1时，Sn=

，

4222

由S4=5S2得1﹣q=5（1﹣q），（q﹣4）（q﹣1）=0，（q﹣2）（q+2）（q﹣1）（q+1）=0，

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解得q=﹣1或q=﹣2，或q=2．

=

=q，

∴=﹣1或=±2．

故选：C．

【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的应用，利用条件求出等比数列的通项公式，以及对数的运算法则是解决本题的关键．

6． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；

对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数； 故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 7． 【答案】C

【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b=1， ∴y=+=（a+b）∴y=+的最小值是4． 故选：C．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

8． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=

，

=2+

=4，当且仅当a=b=时取等号．

∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．

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9． 【答案】A 【解析】

考

点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111] 10．【答案】C

=

=4﹣2i，

【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=

故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2）， 故选C．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．

11．【答案】A

【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1）， 直线x﹣2y+2=0经过椭圆故故选A．

．

的一个焦点和一个顶点；

【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．

12．【答案】B

【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，

22

圆（x﹣2）+y=2的圆心（2，0），半径为

，

双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，

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可得：

22

可得a=b，c=

， a，

e==．

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=故答案是

Sh=．

×

×2×1=

2

．

【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．

14．【答案】 ﹣4 ．

【解析】解：∵函数f（x）=

，

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2

∴f（﹣2）=4﹣=

， ）=

=﹣4．

f（f（﹣2））=f（

故答案为：﹣4．

15．【答案】 546 ．

*

【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；

*

当n=2k（k∈N）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，

．

∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16） =（1+2+…+8）+（2+22+…+28） =

=36+29﹣2 =546．

故答案为：546．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．【答案】 【解析】解：∵∴Sn=

+

+…+

=

﹣

+

=（

﹣

），

）

= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（=

，

．

）=（1﹣

故答案为：

【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．

17．【答案】 【解析】

试题分析：以AC1为斜边构成直角三角形：AC1D,AC1B,AC1A1，由长方体的对角线定理可得：

2BC12DC12AC2(AB2AD2AA12)11sinsinsin2. 2222AC1AC1AC1AC1222第 11 页，共 16 页

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考点：直线与直线所成的角．

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 18．【答案】 （﹣3，0） ．

【解析】解：由题意，a≥0时，

x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立， f（x）在（0，+∞）上至多一个零点； x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点， ∴a≥0，不符合题意；

﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；

3

2

a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；

3

2

a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；

3

2

综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）． 故答案为（﹣3，0）．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

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f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

20．【答案】

【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2． |x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和， 而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2， ∴不等式的解集为[0.5，2.5]．

（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax| ≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2）， ∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．

21．【答案】⑴a2⑵,,⑶2

11【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数（求导，由导数的几何意义分析可得曲线y（ 在点fx）fx）（2，）11，计算可得答案； （，（））1f1处的切线方程，代入点

3）（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（2，上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

2（3）由题意得，fmin 分析可得必有fx＝ax2a1xlnx（x）gmax（x）2，15 ，对（求导，fx）8对a分类讨论即可得答案． 试题解析：

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⑵

f'x2ax1x1x

，

若函数fx在区间2,3上单调递增，则y2ax10在2,3恒成立，

4a101{ ，得a；

46a10若函数fx在区间2,3上单调递减，则y2ax10在2,3恒成立，

4a101{ ，得a，

66a10综上，实数a的取值范围为,,；

⑶由题意得，fminxgmaxx2，

111gmaxxg，

281515fminx，即fxax22a1xlnx，

88212ax2a1x12ax1x1由f'x2ax2a1， xxx当a0时，f10，则不合题意；

当a0时，由f'x0，得x当0x当x1或x1（舍去）， 2a1时，f'x0，fx单调递减， 2a1时，f'x0，fx单调递增． 2a117115ln， fminxf，即4a2a82a8第 14 页，共 16 页

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117， 22a8111设hxlnx，hx20，hx单调递增，

2xx2xaZ，2a为偶数，

1717又h2ln2，h4ln4，

48882a4，故整数a的最小值为2。

整理得，ln2a22．【答案】

【解析】（1）解：赞成率为

，

被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 （2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

∴ξ的分布列为：

0 ξ P ∴

1 ．

2 3 【点评】本题考查相互事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

23．【答案】

【解析】解：（I）当n≥20时，f（n）=500×20+200×（n﹣20）=200n+6000， 当n≤19时，f（n）=500×n﹣100×（20﹣n）=600n﹣2000， ∴

．

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（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400， ∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X的分布列为

X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

24．【答案】

2

【解析】解：（1）Sn=2n﹣19n+1=2

10400 0.1 ﹣

，

∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．

2

（2）由Sn=2n﹣19n+1，

∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16． 由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0． n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+． ∴Tn=

．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．

2

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n+19n﹣1．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．

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