第19讲 相似三角形
3
1．(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( A )
434916A. B. C. D. 43169
2．(2016·石家庄模拟)如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为( A )
A．5 B．12.5 C．25 D.21
3．(2015·唐山路南区模拟)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为( C ) A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m
4．(2016·山西)宽与长的比是
5－1
(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以2
协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是( D )
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
5．(2016·梅州)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝4．
6．(2016·临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，12
则FC的长为．
5
1
7．(2016·河北模拟)如图，点P是菱形ABCD的对角线DB延长线上一点，连接PC并延长，交AD延长线于点E，AB延长线于点F. (1)证明：
①△PAB≌△PCB； ②△PAF∽△PEA；
(2)若AB＝3，AP＝6，FP＝2，求AE.
解：(1)证明：①∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝BA，∠CBD＝∠ABD. ∴∠CBP＝∠ABP.
又∵BP＝BP，∴△PAB≌△PCB. ②∵△PAB≌△PCB， ∴∠PAB＝∠PCB.
∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AE.
∴∠PCB＝∠E.∴∠PAB＝∠E.
又∵∠APF＝∠EPA，∴△PAF∽△PEA. PFAF1
(2)∵△PAF∽△PEA，∴＝＝.
PAEA3CDAF131
∵DC∥AF，∴＝＝.∴＝. DEEA3DE3∴DE＝9，AE＝DE＋AD＝12.
8．(2016·绵阳)如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的AFHF
延长线于H，若＝2，则的值为( B )
DFBG
2715
A. B. C. D. 312212
9．(2016·黄冈)如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一4直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝．
3
提示：过点A作AM⊥BC，可利用勾股定理计算出MC，MI，AM，AI等线段的长，再利用AC∥GQ得△IAC∽△IQG，利
2
用相似三角形的性质求QI的长．
10．(2016·江西)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均相等．网格中三个多边形(分别标记为①，②，③)的顶点均在格点上．被一个多边形覆盖的网格线中，竖直部分线段长度之和记为m，水平部分线段长度之和记为n，则这三个多边形中满足m＝n的是( C )
A．只有② B．只有③ C．②③ D．①②③
11．(2016·桂林)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接35OH，则OH＝．
5
BHOB35
提示：通过计算可得＝＝，易证△BOH∽△BDA，再利用相似三角形的性质可求得OH的长．
ABBD10
12．(2016·邯郸模拟)如图1，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，点D在AB边上，且∠ADC＝45°. (1)求∠BCD的度数；
(2)将图1中的△BCD绕点B顺时针旋转α(0°＜α≤360°)得到△BC′D′.
①当点D′恰好落在BC边上时，如图2所示，连接C′C并延长交AB于点E.求证：AE＝BD′； ②连接DD′，如图3所示，当△DBD′与△ACB相似时，直接写出α的度数．
解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠CBA＝∠A＝30°. ∵∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝∠ADC－∠CBA＝15°.
(2)①证明：由旋转可知CB＝C′B＝AC，∠C′BD′＝∠CBD＝∠A， 180°－30°
∴∠CC′B＝＝75°.
2∴∠CEB＝∠C′CB－∠CBA＝45°. ∴∠ACE＝∠CEB－∠A＝15°. ∴∠BC′D′＝∠ACE.
3
∠A＝∠D′BC′，在△AEC和△BD′C′中，
∠ACE＝∠BC′D′，
AE＝BD′.
∴△AEC≌△BD′C′(AAS)．∴AE＝BD′.
(3)∵△DBD′与△ACB相似，
∴∠BDD′＝∠DD′B＝∠A＝30°. ∴∠DBD′＝120°.
∴α＝∠DBD′＝120°(如图4)或α＝360°－∠DBD′＝360°－120°＝240°(如图5)．
故α的度数为120°或240°.
4
