数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分） 1．（4分）函数y=3x是（ ） A．正比例函数 2．（4分）将分式A．扩大6倍
B．一次函数
C．反比例函数
D．二次函数
﹣1
中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） B．扩大9倍
C．不变
D．扩大3倍
3．（4分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人
B．10人
2
C．11人 D．12人
4．（4分）关于x的一元二次方程x﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（ ） A．有两不相等实数根 C．无实数根
B．有两相等实数根 D．不能确定
5．（4分）下列线段中，能成比例的是（ ） A．3cm、6cm、8cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm
B．3cm、5cm、6cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
的图象上的点，
6．（4分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ） A．y1＜y3＜y2
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1
D．y1＜y2＜y3
7．（4分）方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A．（x+3）=14
2
B．（x﹣3）=14
2
C．（x+3）=4
2
D．（x﹣3）=4
2
8．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=﹣与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
10．（4分）如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（ ）
A．3
B．﹣3 C．6 D．﹣6
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（4，2），BO=4y=的图象经过点B，则k的值为 ．
，反比例函数
12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，当x12
﹣x22=0时，则m的值为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ． 14．（4分）已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m= ．
15．（4分）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为15米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走 米才最理想．（结果精确到0.01米） 16．（4分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使连接EF交对角线AC于G，则
的值是 ．
，
，
17．（4分）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为 ．
18．（4分）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且为 ．
=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和
三．解答题（共8小题，满分54分） 19．（8分）解方程：2﹣x=（x﹣2）2
20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB/AD=BC/DE=AC/AE，点B．D．E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
21．（8分）如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m． （1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
22．（10分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点． （1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；
（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．
24．（10分）一次函数y=k x+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次例函数的解析式； （3）求△AOB的面积．
25．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
26．（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．
参
1．C． 2．B． 3．C． 4．A． 5．D． 6．B． 7．A． 8．D． 9．C． 10．D． 11．﹣32 12．．
13．﹣2． 14．±4． 15．5.73 16．． 17．12m． 18．17．
19．解：2﹣x=（x﹣2）， （x﹣2）2+（x﹣2）=0， （x﹣2）（x﹣2+1）=0， （x﹣2）（x﹣1）=0， 解得：x1=2，x2=1．
20．证明：∵在△ABC和△ADE中，∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵∴
， ，
，
2
∴△ABD∽△ACE．
21．解：（1）∵∠AFB=∠CFD，∠ABF=∠CDF， ∴△ABF∽△CDF， ∴
=
， •CD=
×1.6=6.4．
∴AB=
∴灯杆AB的高度为6.4米．
（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．
∵∠AQB=∠C′QD′，∠ABQ=∠C′D′Q=90°， ∴△ABQ∽△C′D′Q， ∴∴D′Q=
=．
，即
=
，
同理，可得出△PQN∽△AQB，
∴=，即=，
∴PN=1．
∴小丽的影子不能完全落在地面上，小丽落在墙上的影长为1米．
22．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得： 10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）． 则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元）， 答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
23．解：（1）设AP=x．
∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似， ①当②当
==
时，时， =
=，解得x=2或8．
，解得x=2，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或8；
（2）设PA=x， ∵△ADP∽△BPC， ∴∴
=
， =，
2
整理得：x﹣mx+ab=0， 由题意△≥0， ∴m﹣4ab≥0．
∴当a，b，m满足m2﹣4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．
24．解：（1）∵反比例函数经过A（2，1）， ∴m=2，
∴反比例函数的解析式为y=； （2）∵B（﹣1，n）在y=上， ∴n=﹣2，
∴B的坐标是（﹣1，﹣2），
把A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y=k x+b，得解得：
，
，
2
∴y=x﹣1；
（3）设直线y=x﹣1与坐标轴分别交于C、D，则C（1，0）、D（0，﹣1）， ∴S△AOB=S△BOD+S△COD+S△AOC=×1×1+×1×1+×1×1=．
25．（1）证明：∵△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）=1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵△=1＞0， ∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为5．
当x=5时，原方程为：25﹣5（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣9k+20=0， 解得：k1=4，k2=5．
当k=4时，原方程为x2﹣9x+20=0， ∴x1=4，x2=5．
∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k=4符合题意；
当k=5时，原方程为x﹣11x+30=0， 解得：x1=5，x2=6．
∵5、5、6能围成等腰三角形， ∴k=5符合题意．
综上所述：k的值为4或5． 26．
2
证明：（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N， 则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R ∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM． ∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN， ∴△GNH≌△FME． ∴EF=GH．
（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90° ∴∠ADC+∠MQN=180°． ∴∠MQN=∠A=∠GOF． ∵∠ORG=∠QRF， ∴∠HGN=∠EFM． ∵∠A=∠C，AB=BC， ∴FM=AB•sinA=BC•sinC=GN． ∵∠FEM=∠GNH=90°， ∴△GNH≌△FME． ∴EF=GH．
（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°﹣∠GRO=90°﹣∠QRF=∠OFM． ∵∠GNH=∠FME=90°， ∴△GNH∽△FME． ∴ 附加题：
已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．
证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°， ∴∠MDN+∠MQN=180°． ∴∠MQN=∠A=∠GOF． ∵∠ORG=∠QRF， ∴∠HGN=∠EFM． ∵∠FME=∠GNH=90°， ∴△GNH∽△FME． ∴
即GH=mEF．
． ．
