5、D不是优化设计问题数学模型的基本要素。 A设计变量B约束条件 C目标函数 D 最佳步长
6、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk—αkHk▽f(xk)，下列不属于Hk必须满足的条件的是C 。 A。 Hk之间有简单的迭代形式 B。拟牛顿条件
C。与海塞矩阵正交 D。对称正定
7、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的A. A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数. A 梯度法 B 牛顿法 C 变尺度法 D 坐标轮换法
9、设f(X)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则f(X)在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处B。 A 正定 B 半正定 C 负定 D 半负定
10、下列关于最常用的一维搜索试探方法--黄金分割法的叙述，错误的是D，假设要求
在区间[a，b]插入两点α1、α2,且α1<α2。 A、其缩短率为0.618 B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b—a）
D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。
11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值 B
方向，与梯度成直角的方向为函数值 C方向。 A、上升 B、下降 C、不变 D、为零
12、二维目标函数的无约束极小点就是 B。 A、等值线族的一个共同中心 B、梯度为0的点
C、全局最优解 D、海塞矩阵正定的点
13、最速下降法相邻两搜索方向dk和dk+1必为 B 向量。 A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭
14、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是A。 A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。 B 惩罚因子是不断递减的正值
C初始点应选择一个离约束边界较远的点。 D 初始点必须在可行域内 三、问答题（看讲义）
1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区别？ 2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？ 3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路.
4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点.
5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义.
6、什么是共轭方向？满足什么关系？共轭与正交是什么关系? 四、解答题
1、试用梯度法求目标函数f（X)=1。5x12+0。5x22— x1x2-2x1的最优解，设初始点x（0)=［—2，4］T，选代精度ε=0。02（迭代一步）。 解：首先计算目标函数的梯度函数 ∇f=[
3∗x1−x2−2
],
x2−x1
−3∗2−4−2−12
计算当前迭代点的 梯度向量值 ∇f(X(0))=[]=[]
4+26
梯度法的搜索方向为 S（k）=−∇f, 因此在迭代点x（0) 的搜索方向为［12，－6］
T
在此方向上新的迭代点为：
X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0）
=[
12−2+12α−2
]+α[]=[]
−−6α4
把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X(k+1))=f([
−2+12α
])=1.5(−2+12α)2+0.5(4−6α)2−(−2+12α)(4−
4−6α
6α)− 2(−2+12α)＝F(α) 令
dF(α)dα
=−180+612α＝0，可以求出当前搜索方向上的最优步长
5
α＝17≈0.2941
1.5292
新的迭代点为X（0）+αS（0）＝ []
2.2354
当前梯度向量的长度‖∇f‖=√12x12+6x6=13.41>ε, 因此继续进行迭代。 第一迭代步完成。
2、试用牛顿法求f（ X )=（x1-2)2+（x1-2x2）2的最优解，设初始点x（0）=［2，1］T。 解1：（注：题目出题不当，初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法。) 牛顿法的搜索方向为S(k)=−∇2(f)−1∇(f)，因此首先求出当前迭代点x(0)
的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵
4∗x1 − 4∗x2 − 4
]
8∗x2 − 4∗x1
0
∇(f（x(0)）)=[]
04−4
∇2(f)＝[]
−48121
∇2(f)−1 = 4[]
110
S(k)=−∇2(f)−1∇(f)=[]
0
∇(f)＝[
不用搜索，当前点就是最优点。
解2:上述解法不是典型的牛顿方法，原因在于题目的初始点选择不当。以下修改求解题目的初始点，以体现牛顿方法的典型步骤。
以非最优点x(0）=[1,2］T作为初始点，重新采用牛顿法计算
牛顿法的搜索方向为S(k)=−∇2(f)−1∇(f),因此首先求出当前迭代点x(0） 的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵
梯度函数：
∇(f)＝[
初始点梯度向量：
∇(f（x(0)）)=[ 海色矩阵：
∇2(f)＝[
海色矩阵逆矩阵:
∇2(f)−1 = 4[
当前步的搜索方向为： 2
S(k)=−∇2(f)−1∇(f)＝− 1[41
1−8−1
][]＝[] 1121
1
4∗x1 − 4∗x2 − 4
]
8∗x2 − 4∗x1
−8] 12
4−4
]
−48
21
] 11
新的迭代点位于当前的搜索方向上 ：
X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0） 1−α1−1
＝[]＋α[]＝[]
2＋α21
把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个关于单变量α的函数F(α) f(X 令
(k+1)
1−α
)=f([])=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α)
2＋α
dF(α)dα
=20α+ 20＝0，可以求出当前搜索方向上的最优步长
α＝−1
1−12
新的迭代点为 X(1)=X（0）+αS（0）＝ [] –[]＝ []
211
当前梯度向量的长度‖∇f‖=√12x12+8x8=14.4222>ε, 因此继续进行迭代。 第二迭代步：
∇(f)＝[
4∗x1 − 4∗x2 − 4
]
8∗x2 − 4∗x1
0
∇(f（x(1)）)=[]
0‖∇f‖=0<ε
因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点。
这正是牛顿法的二次收敛性。对正定二次函数，牛顿法一步即可求出最优点。
3、设有函数 f（X)=x12+2x22—2x1x2—4x1，试利用极值条件求其极值点和极值. 解：首先利用极值必要条件
0
∇(f)=[]找出可能的极值点：
0 令
02∗x1 − 2∗x2 − 4
∇(f)＝[]＝[]
0 4∗x2 − 2∗x1
求得[
4x1
]=[]，是可能的极值点. x22
再利用充分条件∇2(f)正定（或负定）确认极值点。 2−2
∇2(f)＝[]
−24
|2|＝2>0
2−2||＝8−4＝4>0 −24
4x1
因此∇2(f)正定, X∗=[]=[]是极小点，极值为f(X＊)=-8
x224、求目标函数f( X ）=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点。 解法同上
5、试证明函数 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1，1，—2]T处具有极小值。 解： 必要条件：
4∗x1 + 2∗x3
∇(f)＝[ 10∗x2 + 2∗x3 − 6]
2∗x1 + 2∗x2 + 2∗x3
将点［1，1，—2］T带入上式,可得
0
∇(f)＝[0]
0
充分条件
4
∇f)＝[0
2
2(
02102] 22
|4|＝4>0
40
||＝40>0
010
40|01022
∇2(f)正定。
因此函数在点［1，1，-2]T处具有极小值
2
2|＝80−40−16＝24>0 2
6、给定约束优化问题
min f(X)=（x1—3）2+（x2-2)2 s。t。 g1（X)=－x12－x22＋5≥0 g2（X）=－x1－2x2＋4≥0 g3(X）= x1≥0 g4（X)=x2≥0
]TKuhn-Tucker条件成立。 验证在点X[2，１]T起作用约束： 解：首先,找出在点X[2，１g1（X) ＝0 g2(X） ＝0 g3（X） ＝2 g4(X） ＝1
因此起作用约束为g1(X）、g2(X）.
然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度，检查目标函数梯度是否可以表示为
起作用约束函数梯度的非负线性组合.
2∗x1 − 6−2
∇(f)＝[]＝[]
2∗x2 − 4−2
−4 −2∗x1−1
∇(g1)＝[]＝[], ∇(g2)＝[]
−2∗x2−2 −2 求解线性组合系数 ∇(f)=λ1∇(g1)+λ2∇(g2) [
−4−2−1]=λ1[]+λ2[] −2−2 −2
2
得到 λ1＝3,λ2=3, 均大于0
]TKuhn-Tucker条件成立 因此在点X[2，１1
7、设非线性规划问题
min
2f(X)(x12)2x2s.t.g1(X)x10g2(X)x202g3(X)x12x210T
用K—T条件验证X*1,0为其约束最优点。
解法同上
8、已知目标函数为f(X）= x1+x2,受约束于： g1（X)=—x12+x2≥0 g2（X）=x1≥0 写出内点罚函数. 解：
内点罚函数的一般公式为
其中： r（1）>r(2) 〉r（3）… >r（k) … 〉0 是一个递减的正值数列 r（k)＝Cr(k—1)， 0＜C＜1 因此 罚函数为：
∅(X,r(k))=x1+x2+r(k)(
9、已知目标函数为f（X)=（ x1-1）2+（x2+2)2
受约束于：g1(X）=—x2—x1-1≥0
g2（X)=2—x1—x2≥0 g3（X)=x1≥0 g4(X)=x2≥0
试写出内点罚函数。 解法同上
11
+)
−x12+x2x1
10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子,问如何截法(x取何值）才能获得最大容器的箱子.试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序.
12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈,另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。
13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序.
14、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。 15、已知梯形截面管道的参数是:底边长度为c,高度为h，面积A=516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边，不计顶边）。试按照使液体流速最大确定该管道的参数.写出这一优化设计问题的数学模型.并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。 16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg，3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序.
