谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)

引言

众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.

1罗尔Rolle中值定理

如果函数fx满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；（3）fafb,则在a,b内至少存在一点 ,使得f'0

罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线yfx在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧 AB 上至少有一点C,f ，曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，

注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于a,b的，使得f'0. 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.

2拉格朗日lagrange中值定理

若函数fx满足如下条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导；则在a,b内至少存在一点，使f'fbfa ba拉格朗日中值定理的几何意义：函数yfx在区间a,b上的图形是连续光滑曲线弧 AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB. 如图2，

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若fx在闭区间a,b两端点的函数值相等，即fafb，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数fx作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

3 证明拉格朗日中值定理

3.1 教材证法

fbfax 证明 作辅助函数 Fxfxba显然，函数Fx满足在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，而且

FaFb．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ab，使

F'f'fbfafbfa. 0.即f'baba3.2 用作差法引入辅助函数法

fbfaxa证明 作辅助函数 xfxfa ba显然，函数x在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，ab0，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点a,b，使得

'f'

fbfafbfa 0，即 f'baba推广1 如图3过原点O作OT∥AB，由fx与直线OT对应的函数之差构成辅助函数x，因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：

1

fbfafbfa，OT的直线方程为：yx，于是引入的辅babafbfa助函数为：xfxx. （证明略） baKOTKAB推广2 如图4过点a,O作直线A'B'∥AB，直线A'B'的方程为：

fbfa由fx与直线函A'B'数之差构成辅助函数x，于是有：xa，bafbfaxa. （证明略） xfxbay推广3 如图5过点作b,O直线A'B'∥AB，直A'B'线的方程为

yfbfaxb，由fx与直线ABbafbfaxb. bafbfaxm，ba函数之差构成辅助函数x，于是有：

xfx事实上，可过y轴上任已知点O,m作

A/B/∥AB得直线为y从而利用fx与直线的A'B'函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数x都可以

用来证明拉格朗日中值定理. 因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.

3.3 用对称法引入辅助函数法

在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅

2

助函数是用曲线函数fx减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数fx，即可得与之对称的辅助函数如下：

fbfaxafx ⑴ xfabafbfaxfx

bafbfa ⑶ xxafx bafbfa ⑷ xxbfx ba等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个. 这里仅以

⑵ x⑵为例给出拉格朗日中值定理的证明.

证明 显然，函数x满足条件：1在闭区间a,b上连续；2在开区间

a,b内可导；3abafbbfa.由罗尔中值定理知，至少存在一点

fbfafbfa，显f'0，从而有f'baba然可用其它辅助函数作类似的证明.

baa,b，使得'3.4 转轴法

由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度，得新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新的坐标系下fx满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.

证明 作转轴变换xXcosYsin，yXsinYcos，为求出，解出X,Y得

XxcosysinxcosfxsinXx ① YxsinycosxsinfxcosYx ② 由

YaYb得

asinfacosbsinfbcos，从而

tanfbfa，取满足上式即可.由fx在闭区间a,b上连续，在开区间baa,b内可导，知Yx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且YaYb，

因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点a,b，使得

3

Ysinf'cos0 ，即f'tanfbfa ba 3.5 用迭加法引入辅助函数法

让fx迭加一个含待顶系数的一次函数ykxm，例如令

xfxkxm或xfxkxm，通过使ab，确定出k,m，即可得到所需的辅助函数.

例如由 xfxkxm，令ab 得fakamfbkbm，从而k样我们就得到了辅助函数xfbfa，而m可取任意实数，这bafbfaxm，由m的任意性易知迭加法可ba构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.

3.6 用行列式引入辅助函数法

证明 构造一个含fx且满足罗尔中值定理的函数x，关键是满足

xab.我们从行列式的性质想到行列式abxfx1fa1，展开得 fb1fx1fa1的值在xa,xb时恰fb1恰均为0，因此可设易证xabxfbxbfaafxafbfaxbfx.

因为fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，所以x在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且ab0，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点a,b，使得'0. 因为'fafbabf'0 即： f' 3.7 数形相结合法

引理 在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为Aa,fa，

fbfa baBb,fb，Cc,fc，则ABC面积为SABC1a11b2acfafb， fc 4

这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明. 这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件.如图， 设c,fc是直线AB与yfx从A点开始的第一个交点，则构造

21a1x1c41xfafc， fx易验证x满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a,c上连续，在开区间a,c内可导，而且ab，则至少存在一点a,b，使/0，即：

1a1c1fa1afc1cf11fafc0 f'1a但是1c1fafc0，这是因为，如果 f1a1c1fafc0， f则

ffcfcfa，这样使得,f成为直线AB与yfx从Acca点的第一个交点，与已知矛盾）.

1afafc0，即f'f故1c1fbfafcfa. 若只从满足罗尔中值定bacafafb来fx1a理的要求出发，我们可以摈弃许多条件，完全可以构造x1b1x解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造

1gax1gb1gx

fafb来证明柯西中值定理. fx5

3.8 区间套定理证法

证明 将区间Ia,b二等分，设分点为1，作直线x1，它与曲线

yfx 相交于M1，过M1作直线M1L1∥弦MaMb. 此时，有如下两种可能:

⑴ 若直线M1L1与曲线yfx仅有一个交点M1，则曲线必在直线M1L1 的一侧.否则，直线M1L1不平行于直线MaMb. 由于曲线yfx在点M1处有切线，根据曲线上一点切线的定义，直线M1L1就是曲线yfx在点M1处的切线，从而f1fbfa.由作法知，1在区间a,b内部，取1 bafbfa于是有 f ba⑵ 若直线M1L1与曲线yfx还有除M1外的其他交点，设N1x1,y1为另外一个交点，这时选取以x1,1为端点的区间，记作I1a1,b1，有

lI1,b1a1fb1fa1fbfaba, ，2b1a1ba把I1作为新的“选用区间”，将I1二等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点，要么又得到一个新“选用区间”I2.如此下去，有且只有如下两种情形中的一种发生:

(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点k，作直线xk它与曲线yfx交于Mk，过点Mk作直线MkLk∥弦MMb, 它与曲线yfx只有一个交点Mk，此时取k即为所求.

(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇不到上述那种点，则得一闭区间序列{In}，满足:

① II1I2② bnan

Inan,bn

ba0n 2n6

③

fbnfanfbfa bnanba 由①②知，{In}构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点

Inn1,2,3，此点即为所求. 事实上limanlimbn，f存在

nnlimnfbnfanf，由③limnbnanfbnfanfbfa，所以bnanbafbfa，从“选用区间”的取法可知，确在a,b的内部.

ba 3.9 旋转变换法 f证明 引入坐标旋转变换A: xXcosYsin ⑴ yXsinYcos ⑵ 因为 cossinsincoscos2sin210

所以A有逆变换A/:XxcosysinxcosfxsinXx ⑶

YxsinycosxsinfxcosYx ⑷ 由于fx满足条件: 1在闭区间a,b上连续；2在开区间a,b内可导，因此⑷式中函数Yx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导.为使Yx满足罗尔中值定理的第三个条件，只要适当选取旋转角，使YaYb, 即

asinfacosbsinfbcos，也即

fbfa tan.

ba这样，函数Yx就满足了罗尔中值定理的全部条件，从而至少存在一点

ab，使Ysinfcos0即ftan. 由于所选取旋转角满足tanfbfafbfa，所以f. baba结论

本论文仅是对拉格朗日中值定理的证明方法进行了一些归纳总结其中还有很多方法是我没有想到的，而且里面还有很多不足之处需要进一步的修改与补充.

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通过这篇论文我只是想让人们明白数学并不是纯粹的数字游戏，里面包含了很多深奥的内容. 而且更重要的是我们应该学会去思考，学会凡是多问几个为什么，不要让自己仅仅局限于课本上的内容，要开动脑筋学会举一反三，不要单纯为了学习而学习，让自己做知识的主人！

总之，数学的发展并非是无可置疑的，也并非是反驳的复杂过程，全面的思考问题有助于我们思维能力的提高，也有助于创新意识的培养.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）（第二版）[M].北京：高等教育出

版社.1991：153-161

[2] 吉林大学数学系. 数学分析(上册)[M].北京：人民教育出版社.1979：194-196 [3] 同济大学应用数学系. 高等数学（第一册）[M].北京：高等教育出版社（第

五版）.2004：143-153

[4] 周性伟,刘立民. 数学分析[M].天津：南开大学出版社.1986：113-124 [5] 林源渠,方企勤. 数学分析解题指南[M].北京：北京大学出版社.2003：58-67 [6] 孙清华等. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉：华中科技大学出版

社.2003：98-106

[7] 洪毅. 数学分析（上册）[M].广州：华南理工大学出版社.2001：111-113 [8] 党宇飞. 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[J].上海：数学通报.2001,1：

15-18

[9] 王爱云. 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[J].西安：数学通

报.2002,2：84-88

[10] 谢惠民等. 数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社.2003：126-135 [11] 刘玉莲,杨奎元等. 数学分析讲义学习指导书（上册）[M].北京：高等教出

版社.1994：98-112

[12] 北京大学数学力学系. 高等代数. 北京：人民教育出版社. 1978:124-135 [13] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社.1993：

102-110

[14] 郑琉信.数学方[M].南京：广西教育出版社.1996：112-123 [15] 陈传璋等. 数学分析（上册）[M].北京：人民教育出版社.1983:87-92 [16] 李成章,黄玉民. 数学分析（上）[M].北京：科学出版社.1995：77-86

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附 录

柯西中值定理

若 ⑴ 函数fx与gx都在闭区间a,b上连续； ⑵ f'x与g'x在开区间a,b内可导； ⑶ f'x 与g'x在a,b内不同时为零； ⑷ gagb，

f'则在a,b内至少存在一点，使得fbfag'ba. 区间套定理

若an,bn是一个区间套，则存在唯一一点，使得 an,bn，n1,2, 或 anbn，n1,2,

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