复习题
1. 假设生产函数是柯布一道格拉斯形式，例如，Y = K1~a(AL)ar在索洛模型中：
1) 2) 3)
求出稳态时的k*, y*和c* (提示，稳态时的k*, y*和c*是s, n, 6和a的函数) 资本k的黄金律水平是多少？
产生资本黄金律水平紿所需要的储蓄率是多少？
解：1) C-D生产函数的紧凑形式为y = kl~a ,其中y=Y/AL, k=K/ALo在索洛模型中，总量 资本的动态方程为K = sY-SK,化为紧凑形式后变为:
k = sy-{6+ g + n)k ,其中g = A/A, n = L/L
在稳态时有k = ^-(3+g + n)k = 09将y = A^ak^代入，则得到均衡时的单位有效劳 动资本存量：
If a
k* =
因此,
c* = (1- 5)y* = (1- s)
g + n + S
2)根据 ％ = y - c 一(5 + g + n)k = 0
c = y -(5 + g + n)k =k~ 一(5+ g + 〃)R 当c最人时，有
ladc/dk = Q,即 (l-a)A[~ak~a = S+g + n 厂 \"11/Ct
I-a
6+ g + n
3)因为c = (1 -s)k^a = k^a -^+g + n)k9 所以
sk~ = (S+ g + n)k ,即 s = (6+ g + n)k
I-a 6 + g + n
$w = (5+g + 〃)
laaHa
代入上式，得满足黄金律水平的储蓄应该为
1-(7
aia
= \\-a
这正好等于产出的资本弹性。在C・D生产函数中，这意味着当储蓄率等于资本在产出中的份
1
额时，才能达到黄金律水平。
2. 考虑一个带技术进步、但不存在人口增长的经济。初始状态位于均衡增长路径上，假设 出现了新工人，导致工人数量发生了一次性“跳跃式”增加。分析下面的问题：
1) 在“跳跃”发生时，有效劳动的人均产出如何变化，为什么？
2) 当新工人出现时，有效劳动人均产出发生了初始变化后，有效劳动人均产出是否会
有进一步的变化，为什么？
3) 一旦经济达到了一个新的均衡增长路径，新的均衡有效劳动的人均产出与原来相比 有什么变化？
解：1)假设在时间t。时，工人数量突然向上“跳跃”，L増加。这将会使得有效劳动人 均资本存量均衡值k*下降到新的水平—由于y=f(k)，并且k与y呈正向关系，因此，有 效劳动人均产出水平y*均值也卞降。
2 )
\"伙,\")>(g + 3)R”c「这意味着该点上投资水平高于收支相抵的投资水平，因而净投资 增加，有效劳动人均资本存量升高，从匕“升高到R*。随着k的升高，y也会回到原来的 水平厂。
3) 最终，有效劳动人均产出回到原来的水平。 3.
在拉姆齐模型中，给出单位有效劳动消费的欧拉方程—咛也，其中，】(t)表示实际 C C7
利率，在没有折旧的情况r(t) = f(fc),在有折旧6的情况下r(t) = f(fc)-50 p表示时间偏 好，&表示效用函数中的边际效应替代率，g表示技术进步率。单位有效劳动人均资本的动 态方程为\"=/(fc) — c —(7i + 0)4其中，n表示劳动L增长率。下列参数和变量的变化如 何。=0和« = 0曲线，从而如何影响平衡增长路径上的c和k的值。
1) e升高
2) 生产函数向下移动 3) 6折旧率从零变为正值
解：
根据单位有效消费C和单位有效资本存量k的动态方程分别为：
2
c(t) _r(t)-p-0^ (1) k = f(k)-c-e十 g)k
相位图为：
(2)
图1
1） 8的升高意味着消费的跨期替代弹性（I/O）较小，意味着家庭将消费从现在推迟 到未来的意愿越小，也意味着当消费升高时，消费的边际效应下降的更快。从方程（1）来 看，曲线C = 0向左移动，而方程（2）显示，k = 0曲线不受影响。因此，新的相位图2表 示为：
图2
首先，&的升高使得当前消费升高，即均衡点从E移动到A点，增长重新位于鞍路径
之 上，沿着新的鞍路径,经济由A点向F移动，重新回到新大稳态均衡点。由于/'伙=*）=/?+改
3
c(t) _r(t)-p-0^ (1) 变人，并且/\"伙）V0,因此在新的稳态均衡点，单位有效劳动的资本存量k下降，根据
4
= k璟的下降也是的新均衡点的单位有效劳动的消费广下降。
2) 生产函数/伙)向下移动意味着k = 0向卞移动，因而在不变的k上，产出/伙)更 低，并且广(灯也下降。给定k,由于c(t)/c(t) = [f伙)一。一砂]/&,广伙)变小意味着 C = 0向左移动。如图3所示，稳态下疋和T都变小。
3) 当折旧率5为正，资本积累方程为k = f(k)-c7i + g + §)k；相对于5=0时的资 本积累方程\"=f(k)-c-(n + g)k , 5为正意味着« = 0曲线下降。
当5为正时，消费动态方程为：型=/ lk)_6_p-纵,\"/) =广伙)_洪这意味
c(r) 0
着相对5等零时的消费动态方程空」E-P — 纵向左移动。这意味着在更高的折旧
如 e 率5上，广伙)= 5+0+改升高，这意味着k下降。因此，新的相位图表示为图4：
图4
在新的均衡点，k和c更低。这里暗示，更高的折旧率5意味着为了维持原来的人均资
本存量水平，收支相抵水平的投资更高，因而需要更高的消费。这导致人均消费下降。由
于 更多投资用于资本的广化，因而新均衡下的资本存量更低。 4.
考虑两个
经济体(泛,2),生产函数是x = «(『)&,资本的动态方程为：KerW)， 并且，&>1。假设两个经济体具有初始的资本存量但是必>$「证明，YJY^高。 证明：人/乙升高，意味着在任何时间上两个比重的增长率都是正的。由Y, =
可以得到土 =虽，两边取自然对数In,并对时间t求导数，得到：
人i K ■，丿
(i=l,2)
其中，g；和g；分别为心和©的增长率。由于&>1,如果证明g；>g；,则可以说明YJY. 的增长率是升高的。
根据^(0 = ^(0和生产函数，可知国家i(l和2)资本的增长率为：g；=qK严， 所以'£=(0—l)(g；)2‘由于8>1，所以’g；处于递增状况。如下图：
根据g；=s,KjT,由于两个国家的初始资本存量相同，并以国家1的资 本增长率会高于国家2的资本增长率，即g； —=
—s’Kj1〉。。因此得证。
5. 假设世界上存在两个国家，北方和南方。北方的生产函数为YN=A.(t)(l-aL)LNt其中 A为知识存量水平，且Av (t) = aLLNAN (t) o南方没有研发活动,仅仅使用北方转让的技术。 假设南方国家的技术水平落后于北方国家r年，因此，南方的生产函数为电(f) = As(t)Ls, 且As=AN(t-r).如果北方国家人均产出年增长率为3%,并且如果仪趋近于0,问r值 是多少才
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能使得北方国家的人均产出是南方国家人均产出的10倍？
解：首先，根据生产函数给出北方国家和南方国家的人均产出，分别为:
yN = YN / 厶V = ANQ)(1 - al) ys = Ys/Ls = As(t)
由于人=Am，则ys = A,v(r-r)o
根据北方国家人均产出的函数，人均产出增长率为：由于gj=3%,则 g； = 3% o 根据 AN (/) = CILLNAN (t),可得出:g： = AN (f) / AN (t) = =3%,由于 LN 是
正的，可以认为勺.接近于Oo这意味着，北方国家技术进步率是正的，且是不变的。假设 初始的技术水平为Av(o),则有：
Av (0 = 4v (0)\"乳和 Av (r-r) = Av (。)用宀 因此，北方和南方的人均产出分别可以表示为：
yN = AN(0)e^(l-aL) ys = A^0)e^-r)
如果北方国家的人均产出是南方国家的10倍，则有：丘必(1 一业)=10幺必1，可以令 勺广0,并且g：=3%,因此，0.03r = lnl0a2.3,所以，r«77 (年)。即经过77年, 北方国家的人均产出是南方国家的10倍。
6・假设生产函数为=
t H(t) = BaHH(t)和 K(/) = s\")。假设
0 va vl,0 <0 vl和a+0〉l。
1) H的增长率是多少？
2) 经济是否收敛到一个均衡增长路径？如果是的，在均衡增长路径上K和Y的增长率是
多 少？ 解：(1)根据 =
H 的增长率为gH=H(t)/H{t) = BaH
⑵ 根据生产函数和K的动态方程，可以得到：
gK = K/K = sK[(l-aH)H{t)y
两边取自然对数In,并对t求导数：
a7
劭仏=©一1皿+0滋
8
相位图为:
因此，经济收敛于一个均衡增长路径。均衡时，有gH = 0和gK=0,由于g/ = BciH为 常数，因此，得到K在均衡路径上的增长率为:
2 * =如
收入Y在均衡路径上的增长率为：
gy* = agK * +0%* =卩Bg +
a fl Ba H
(3BaH
=gk
~ \\-a
7. 假定生产函数中的要素包括劳动\\-aL、资本K和土地X,且生产函数具有不变 规模报酬和不变替代弹性的性质： Y = A[a(Kl}~Y + (1-a)X。严
其中，X>0, a>0, 0 <« <1且卩<1。不存在技术进步，L以不变速度11>0增长， 土地数量固定。折旧率为0。收入现在包括了地租和对资本以及劳动的报酬。
1) 证明对要素的竞争性报酬分光了总产出
2) 当卩为什么值时，人均产出水平y在稳态中不变？当°为什么值时，人 均产出水平y在长期中平稳下降？
8. 考虑一个带额外技术冲击的RBC模型，经济中存在无限存活的个人，人口数 量不变。代表性个人的目标是使无限寿命内期望效应最大，工二u(G)/(l + QT , p>0, i氏CJ = C’—aa8C；, & >0,并且假设C总是在/(C) > 0的范围内。生产函
数为X = AK,+弓。资本没有折旧，因此心]=« +匕-匚，利率是A。假设，A = p, 弓=031 +
吕，其中-1V0V1,岂是同分布的冲击，均值为0。求:
(1) 关于C,和Cw的欧拉方程;
(2) 假设消费的函数形式为：C严an仏,给出K出关于K,和《的函 数形式； (3) 如果(1)中的欧拉方程对于所有的K,和◎值都满足，参数a、0和厂应 满足什么条
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件？
(4) 名上的一次冲击将如何影响Y、K和C的路径？
9考虑下面的收入决定模型。消费取决于上一期的收入C,=a + bX；意愿的资本 存量或存货存量与上一期的产出成正比：K； = CY,_L :投资等于意愿资本存量与 上一期资本存量之差：购买是常数G, = G；并且 有 Y,=Ct + It + GtO
(1) 将乙表示成牟八 牟2以及其他参数的函数；
(2) 假设\"0.9和20.5。假设购买上存在一次性扰动，即在t期，有
G,=G + lf在其他时期G, = Gf这个扰动对产出的影响随时间如何变化？
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