专题十一 勾股定理.doc(学生版)

教学目标

1、掌握在直角三角形的三边及角之间的关系。

2、掌握运用勾股定理逆定理判断一个三角形为直角三角形。

一、 知识回顾 课前热身

知识点1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a＋b = c． 即

直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．

因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：

（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；

（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．

222222222

即c= a＋b，a= c－b，b= c－a．

热身 1、一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x= ； 2、已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为 ． 3、若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为 ．

222

知识点2、学会用拼图法验证勾股定理

拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．

热身 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面

2ab积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为

（ ）A、13 B、19 C、25 D、169

知识点3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c,那么这个三角

形是直角三角形.

热身 1、三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为 ．

2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是 。

222

知识点4、1）命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结

论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 2）、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

热身 1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足abc，那么这个三角形是直角三角形．

222 二、 例题辨析 推陈出新

例1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构

成一个直角三角形三边的线段是（ ）

（A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH

（D）AB、CD、EF

图1 图2

变式练习 （2011贵州贵阳，7，3分）如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，

点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )

（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7

例2、⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

变式练习 1、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一

个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5 B、25 C、7 D、15

2、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（ ） A、4个 B、5个 C、6个 D、8个

例3、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，

BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．

变式练习 1.试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是

直角三角形？

2. .三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？

例4、 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥

AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

AB

(例4）

DC（变式练习）

变式练习 已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：

ABAC

三、 归纳总结 方法在握

归纳1.勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是

否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

归纳2.勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一

个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．

四、拓展延伸 能力升华

例1、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二

个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去„。

（1）记正方形ABCD的边长a11，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，

a3，a4，„，an，求出a2，a3，a4的值。

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式。

图2

变式练习 1、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜

边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，„，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为 cm.

2、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=（ ） A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65

例2、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．

先阅读下列解题过程：

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ① ∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）． ②

∴c2=a2+b2． ③ ∴△ABC为直角三角形． ④ 问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是 ； （2）本题的正确结论是 ．

变式练习 如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，

PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．

例3、阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、

阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定

理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理”。 关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”。以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数的两组方法：

方法1：若m为奇数（m3），则a=m，b121(m1)和c(m21)是勾股数。 2222方法2：若任取两个正整数，m和n（m>n），则amn，b2mn，cm

2n2是勾股数。

（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形。 （2）请根据方法1和方法2按规律填定下列表格：

勾m 3 4 5 5 12 13 11 60 61 „ „ „ 12212(m1)弦 2(m1)股 m n a=m2－n2 b=2mn c=m2＋n2 2 1 3 4 5 3 2 5 12 13 3 1 8 6 10

4 3 7 24 25 4 2 12 16 20 4 1 15 8 17 5 4 9 40 41 5 3 16 30 34 6 5 11 60 61 „ „ „ „ „ （3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树___________棵。

图8

五、课后作业 巩固提高

1、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．

2、已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．

CDABwww.czsx.com.cnBDC（2题）

A'图3EA（3题）

(4题）

答案：24（提示：利用勾股定理即可求出）

3、如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ） A．1/2 B．2 C．3 D．4

4、(2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝ 米时,有DC＝AE＋BC.

5、（2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，

222222那么abc”的逆命题改写成“如果„„，那么„„”的形式 ： 6、（2011四川绵阳23，12）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米. (1)请用a表示第三条边长；

(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；

(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.

1、已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C，的对边长分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，周长为L. （1）、请你完成下面的表格： a，b，c 3，4，5 5，12，13 8，15，17 a+b-c S/L （2）、仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a，b，c为已知的正实数，且a+b-c=m， 那么S/L= m/4 （用含m的式子表示） （3）、请说明你写的猜想的推理过程。