圆的方程综合单元测试

1．【林芝市第一中学2019-2020学年高一上学期期末】若直线xy10与圆xa则a等于（ ） A．1或3 【解析】

由题意可知，圆心坐标为a,0，半径r直线与圆相切B．1或3

C．1或3

D．1或3

2y22相切，

2 a0111222 解得：a1或3 本题正确选项：A

222．【江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高一上学期期末】圆xy2x0与圆

x2y24y0的位置关系是（ ）

A．相离

22B．外切 C．相交

22D．内切

【解析】圆xy2x0化为标准方程为：(x1)y1

22圆xy4y0化为标准方程为：x(y2)4

22所以两圆的圆心距为：102(02)25 1r2r15r2r13 两圆相交

故选：C

3．【安徽省淮北一中2018-2019学年高一上学期期末】已知直线x3y﹣2＝0及直线x3y+6＝0截圆C所得的弦长均为6，则圆C的半径为（ ） A．10 【答案】B 【解析】

直线x3y20及直线x3y60平行，且截圆C所得的弦长均为6，

B．13 C．4

D．5

圆心到两直线的距离相等，

两平行直线的距离d|26|134，

即圆心到直线x3y20的距离为d2， 则圆的半径R322213， 故选：B．

4．【重庆市沙坪坝区第八中学校2019-2020学年高一上学期期末】若直线3xya0平分圆

x2y22x4y0的周长，则a的值为（ ）

A．-1 【答案】D 【解析】

x2y22x4y0

x1y25

22B．1 C．3 D．5

所以xy2x4y0的圆心为1,2

22因为直线3xya0平分圆xy2x4y0的周长 所以直线3xya0过圆心1,2， 即312a0解得a5， 故选：D.

5．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期末】若圆x2y29上至少有三个不同的点到直线l:axby0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（ ）

22233A．,33,

33,C． 33【答案】C 【解析】

B．,33, D．3,3



如下图所示：

设直线l的斜率为k，则直线l的方程可表示为ykx，即kxy0，

圆心为C2,0，半径为r3，由于圆C上至少有三个不同的点到直线l的距离为2， 所以3d2，即d1，即d2kk2121，整理得3k21，解得3k3，

3333,因此，直线l的斜率的取值范围是.故选：C. 33226．【吉林春市东北师大附中2018-2019学年高一（下）期末】直线ykx3与圆(x3)(y2)4相交于M，N两点，若|MN|23．则k的取值范围是（ ）

3A．,0

4【解析】

3B．0,

43,0 C．3D．,0

23

如图所示，设弦MN中点为D，圆心C(3,2),ykx3kxy30

弦心距CD|3k23|k2(1)2|3k1|k21，又|MN|23|DN|23DN23，

|3k1|由勾股定理可得DN2CN2CD2222k1|3k1|k21答案选A

3，

3k0 41|3k1|k21(3k1)2k21k(4k3)0

7．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期末】已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是 A．62－2 【答案】B 【解析】

由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，

B．8

C．46

D．10

最短距离为|BC|﹣R=517122﹣2=10﹣2=8，

故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8． 故选B．

8．【上海市延安中学 2018-2019学年高一上学期期末】方程x4yy4x（ ）

220对应的曲线是

A． B．

C． D．

【答案】D 【解析】

2x2+y2=4,x0x=4yx4yy4x022x2+y2=4,x0,y0故表示的为

2x+y=4,y0y=4x22曲线为x+y=4在第一象限的部分。 故选D

9．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期末】直线xy20分别与x轴，y轴交于

22A，B两点，点P在圆x2y22上，则△ABP面积的取值范围是

A．2，6 【解析】

B．4，8

32C．2，

32D．22，

2 直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点A2,0,B0,2,则AB22 2（x2）y22上圆心为（2，0）点P在圆，则圆心到直线距离d1202222 故点P到直线xy20的距离d2的范围为2,32

则SABP1ABd22d22,6故答案选A. 2关于直线

10．【广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆

成轴对称图形，则

A．

B．

的取值范围

C．关于直线

上，，

，

，解得

D．

成轴对称图形，

故选：D．

【解析】圆圆心又圆的半径

在直线

1，11．【上海市延安中学 2018-2019学年高一上学期期末】在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标为3，M、N为圆C1:x2y212上的动点，Q为圆C2:x2y214上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的

个数是（ ）个 A．0个

B．2个

C．4个

D．无数个

22【解析】过A作两条相互垂直的直线，交圆C1于M,N两点，设Mx1,y1,Nx2,y2，则x1y112①，

22x2y212②.由于AMAN，所以AMAN0，即

x13,y11x23,y21x1x23x1x2y1y2y1y2100③.M,N中点B的坐标为

xxyyxxyyB12,12，则A3,1关于B12,12的对称点为Qx1x23,y1y21.根据对

2222称性可知BABMBQBN，故四边形AMQN是矩形.由于

x1x23y1y212222x12y12x2y22x1x23x1x2y1y2y1y21010④，将

①②③代入④得x1x23y1y2114，故Q在圆C2上.由于AM,AN是任意的两条相互垂直的直线，所以四边形AMQN能构成矩形的个数是无数个.故选：D.

22

12．【吉林春市东北师大附中2018-2019学年高一（下）期末】设直线系

M:xcos(y2)sin1(02)．下列四个命题中不正确的是（ ）

A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交

C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 【解析】因为xcos(y2)sin1 所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d1cossin221即M为圆C:x2(y2)21的全体切

线组成的集合，所以存在圆心在(0,2)， 半径大于1的圆与M中所有直线相交, A正确 也存在圆心在(0,2)，半径小于1的圆与M中所有直线均不相交，B正确 也存在圆心在(0,2)半径等于1的圆与M中所有直线相切，C正确 故ABC正确

因为M中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切,所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 △ABC与 ADE均为等边三角形而面积不等,

故D错误，答案选D.

13．【重庆市育才中学2018-2019学年高一下学期期末】若圆C1：x1y3221与圆C2：

xa2y21没有公共点，则实数a的取值范围是______.

2【解析】由圆C1：x1y3221可知圆心C1(1,3)，半径r11，

由圆C2：xay21可得圆心C2(a,0)，半径r21， 因为两圆无公共点，所以两圆相离或内含，

所以|C1C2|r1r22，或|C1C2||r1r2|0（无解）

所以(1a)2(30)22，解得a0或a2 故答案为：a0或a2

2214．【上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期末】已知圆xy6，点M2，2，则过点M的圆

的切线方程为_________.

【解析】当过点M的直线不存在斜率时,则直线方程为：x2,把x2代入圆的方程中，可得

y2,此时直线与圆有两个交点,不符合题意；

22当过点M的直线l存在斜率时,设为k,所以直线l方程可设为：y2k(x2),当直线l是圆xy6的切线时，则圆心到直线l的距离等于半径6,于是有

22kk216k2,

所以过点M的圆的切线方程为2x2y60. 2故答案为：2x2y60

15．【广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末】已知P为直线l:x3y120上一点，过P作圆

C:x2y21的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．

【解析】设切线长为L，则L2PC1，所以当切线长L取最小值时，PC取最小值，

2过圆心C2,0作直线l的垂线，则点P为垂足点，此时，直线PC的方程为3xy60，

联立x3y120x3，得，点P的坐标为3,3.

3xy60y3①若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x3，圆心C到该直线的距离为1，合乎题意； ②若切线的斜率存在，设切线的方程为y3kx3，即kxy33k0.

由题意可得2k33kk213kk211，化简得3k40，解得k4， 3此时，所求切线的方程为y34x3，即4x3y30. 3综上所述，所求切线方程为x3或4x3y30， 故答案为x3或4x3y30．

16．【上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期末】曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C

2到直线l的距离.已知曲线C1:yxa到直线l:yx1的距离等于C2:x2y22到直线

2l:yx1的距离,则实数a__.

0),半径为2,圆心到直线l:yx1距离为【解析】由C2:x2y22可知：圆的圆心坐标为(2，2210(1)1121232,由圆的几何性质可知;圆C2上的点到直线l:yx1的距离最小值为22322,由题意可知C2:x2y22到直线l:yx1的距离为,因此曲线22222C1:yx2a到直线l:yx1的距离也为

2, 222设曲线C1:yxa上任意一点坐标为P(x0,y0),则y0x0a,设点P到直线l:yx1的距离为d,所

以

dx01y0(1)1121252222152x0x0a1x0x0a1(x0)2a,当a0422224时，d最小值为015252，所以a0，此时当x0时,d有最小值为(a),因此有

422422529(a)a 2424yx1592xx0,判别式为当a时，曲线C1方程与l:yx1方程联立得：9244yx4591440,故曲线C1与直线l:yx1相离,符合题意；故答案为：a

44

17．【上海市建平中学2018-2019学年高一上学期期末】已知圆C:x2y29及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A、B两点.

(1)若弦长AB42，求直线AB的斜率； (2)求△ABC面积的最大值,及此时弦长AB.

【解析】(1) 圆Cx2y29的圆心坐标为(2,0),半径为3, AB42，由垂径定理及勾股定理可

22知：圆心到直线直线AB的距离d132(42)21,设直线AB的斜率为k,则方程为ykx1,由点

2到直线距离公式可得：d2k0(1)1k2(1)21,解得k0或k4；

3(2)设AB2a、圆心到直线AB的距离d,根据垂径定理、勾股定理可知：

a2d29,d|CP|5,SABC11932ad(a2d2),当且仅当ad25取等号,此时2222AB32,所以求△ABC面积的最大值为

9, AB32. 218．【河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高一下学期期末】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x3y4相切。

1求圆O的方程；

2若圆O上有两点M,N关于直线x2y0对称，且MN【解析】解（1）r23，求直线MN的方程；

0042 ，所以圆的方程为x2y24 2（2）由题意，可设直线MN的方程为2xym0

m2则圆心到直线MN的距离d则55所以直线MN的方程为2xm342，即m5 y50或2xy50

19． 【林芝市第一中学2019-2020学年高一上学期期末】已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1,3）．（1）求圆C的方程；

（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线xy40的距离的最小值；

【解析】（1）由题意，圆C的圆心在坐标原点，且过点M(1,3)，

所以圆C的半径为CM12(3)22，所以圆C的方程为xy4. （2）由题意，圆心到直线l的距离为d22|4|112222，

所以P到直线l:xy40的距离的最小值为dr222.

20．【生产建设兵团石河子市石河子第一中学2019-2020学年高一上学期期末】过点P3,4作直线l，当l的斜率为何值时.

（1）l将圆x1y24平分？ （2）l与圆x1y24相切？ （3）l与圆x1y24相交且所截得弦长2？

【解析】（1）当l经过圆心Q1,2时，可将圆x1y24平分，

22222222∴直线l的方程为：y2421x1，化为x2y50，k2

31（2）设直线l的方程为：y4kx3，化为kxy3k40 ∵直线l与圆相切，∴圆心Q1,2到直线l的距离dk23k4k122

化为：3k24k0，解得k0或

2244．∴当k0或时，直线l与圆相切 33（3）∵l与圆x1y24相交且所截得弦长2， ∴直线l的距离dk23k4k212212，化为13k216k10，

解得k851851∴当k时，满足条件. 131321．【吉林春市东北师大附中2018-2019学年高一（下）期末】已知点A(4,0)，B(1,0)，动点M(x, y)满足MA2MB，记M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程；

（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，PHx轴，垂足为H．连结QH并延

长交C于点R．

（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围; （ii）求PQR面积的最大值及此时直线l的方程．

【解析】（1）由MA2MB及两点距离公式，有(x4)2y22(x1)2y2， 化简整理得，xy4．所以曲线C的方程为xy4； （2）（i）设直线l的方程为ykx(k0)；

将直线l的方程与圆C的方程联立，消去y，得（1k22222x24，解得x21k2

22k因此P21k21k22kQ，21k21k． 2k2,0， ，H21kk2所以直线QH的方程为yx21k2k221k2k142O到直线QH的距离dk24k122k2452k，

2当k0时．k42d[4,)，所以，0, 2k32（ii）过O作ODQH于D，则D为QR中点，且由（i）知ODd0,，

3QR24d2，PR2OD2d，

又由QR PR，故PQR的面积S11|QR||PR|24d22d2d24d2， 222由d0,，有d0,，所以S2d24d22392444162， 4999当且仅当d242时，等号成立，且此时由（i）有k24，即k2. k3162，且当面积最大时直线l的方程为y2x. 9综上，PQR的面积最大值为的面积最大值为

2222．【北京市西城区北师大附中2018-2019学年高一下学期期末】已知圆C:xy4x2ym0与y轴

交于A,B两点，且ACB90（C为圆心），过点P0,2且斜率为k的直线与圆C相交于M,N两点 （Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）若MN4，求k的取值范围；

（Ⅲ）若向量OMON与向量OC共线（O为坐标原点），求k的值 【答案】（Ⅰ）m3（Ⅱ）(,【解析】

（Ⅰ）由圆C:xy4x2ym0得：C:x2y15m

2253]（Ⅲ）k 12222圆心C2,1，r25m

由题意知，ABC为等腰直角三角形

设AB的中点为D，则ACD也为等腰直角三角形

AC2CD22 5m8，解得：m3

（Ⅱ）设直线方程为：ykx2

则圆心C2,1到直线ykx2的距离：d2k121k22k31k2

由r22，MN4，可得：2k31k22，解得：k5 12k的取值范围为：,5 12x2y24x2y30 （Ⅲ）联立直线与圆的方程：ykx2消去变量y得：1k2x6k4x50

2设Mx1,y1，Nx2,y2，由韦达定理得：x1x2246k 21k2且6k4201k0，整理得：4k212k10

解得：k310310 或k22

2k24k4， y1y2kx1x2421k46k2k24k4OMONx1x2,y1y2, 221k1k6k42k24k4， 2OMON与向量OC共线，OC2,1 22解得：k2或k32 k2不满足k3103102或k2

1k1k k32