截长补短
【背景】
\"截长补短\"法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．
【方法】 在长的线段上截取短的线段或把短的线段延长，再连接，构造全等． 【条件】常常会和角平分线一起出现． 【方法展示】
【示例】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
解：AB＝AC＋CD. 理由如下：
法一(截长)、如图1，在AB上截取AE＝AC，连接DE.
易证△AED≌△ACD(SAS)， ∴ED＝CD，∠AED＝∠C. ∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB. ∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
法二(补短)、如图2，延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.
∵CF＝CD， ∴∠CDF＝∠F.
图2 图1
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F， ∴∠ACB＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠F.
又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△AFD(AAS)． ∴AB＝AF.
∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.
【总结】截长补短后要构造全等三角形，利用三角形全等进行边的转化；通常情况下要证明线段的和差关系，截长法和补短法都可以. 练习
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．
3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．
4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．
求证：BC＝AB＋CD.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，
求证：AB＝AC＋CD.
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.
(1)求∠AOC的度数； (2)求证：AC＝AE＋CD.
中考真题
[2019·包头]如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC. (1)求⊙O半径的长； (2)求证：AB＋BC＝BM．
[2019·仙桃]已知⊥ABC内接于⊥O，⊥BAC的平分线交⊥O于点D，连接DB，DC. (1)如图(1)，当⊥BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式： ；
(2)如图(2)，当⊥BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论； AD
(3)如图(3)，若BC＝5，BD＝4，求的值．
AB＋AC
[2018·深圳]．如图，⊥ABC内接于⊥O，BC=2，AB=AC，点D为弧AC上的动点，且cos⊥ABC=(1)求AB的长度；
10． 10(2)在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．
A
D
O
H
B C E
练习参
1．证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF. ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
111∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°.
222∴∠EOB＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.
∵CE平分∠DCB， ∴∠DCO＝∠FCO. ∴△DCO≌△FCO. ∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
2．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE. ∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB， ∴EF＝DE. ∵DE＝CE， ∴EC＝EF.
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)． ∴BF＝BC
同理可证：AF＝AD.
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.
3．解：线段AB，CD和线段BC的关系是：
BC＝AB＋CD. 理由：在⊥DCE中， ⊥EDC＋⊥DEC＝90°， ⊥⊥AEB＋⊥DEC＝90°， ⊥⊥AEB＝⊥EDC，
又⊥ED＝AE，⊥ABE＝⊥ECD＝90°， ⊥⊥ABE⊥⊥ECD(AAS)， ⊥AB＝EC，BE＝CD， ⊥BC＝BE＋EC＝CD＋AB.
4. 证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，
⊥BE，CE分别是⊥ABC和⊥BCD的平分线，
⊥⊥ABE＝⊥FBE，⊥ECF＝⊥ECD. ⊥⊥ABE⊥⊥FBE(SAS)， ⊥⊥A＝⊥BFE， ⊥AB⊥CD， ⊥⊥A＋⊥D＝180°， ⊥⊥BFE＋⊥D＝180°. ⊥⊥BFE＋⊥EFC＝180°， ⊥⊥EFC＝⊥D.
⊥⊥CDE⊥⊥CFE(AAS)， ⊥CF＝CD. ⊥BC＝BF＋CF， ⊥BC＝AB＋CD.
5．证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.
则⊥E＝⊥CDE＝45°， ⊥⊥B＝⊥E. ⊥AD平分⊥BAC， ⊥⊥1＝⊥2，
在⊥ABD和⊥AED中，
⊥B＝⊥E，⊥2＝⊥1，AD＝AD， ⊥⊥ABD⊥⊥AED(AAS)． ⊥AE＝AB.
⊥AE＝AC＋CE＝AC＋CD， ⊥AB＝AC＋CD.
6．(1)解：⊥⊥ABC＝60°，AD，CE分别平分⊥BAC，⊥ACB，
180°－60°1
⊥⊥AOC＝180°－(⊥OAC＋⊥OCA)＝180°－(⊥BAC＋⊥ACB)＝180°－＝120°；
22(2)证明：⊥⊥AOC＝120°， ⊥⊥AOE＝60°，
如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF，
⊥AD平分⊥BAC， ⊥⊥BAD＝⊥CAD， ⊥AO＝AO，
⊥⊥AOE⊥⊥AOF(SAS)， ⊥⊥AOE＝⊥AOF，
⊥⊥AOE＝60°，⊥AOC＝120°， ⊥⊥AOF＝⊥COD＝⊥COF＝60°.
⊥⊥FOC＝⊥DOC，CO＝CO，⊥DCO＝⊥FCO， ⊥⊥COF⊥⊥COD(ASA)， ⊥CF＝CD，
⊥AC＝AF＋CF＝AE＋CD.
