2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（ ） A．﹣2
B．1
C．2
D．3
2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ） A．1.09×103
B．1.09×104
C．10.9×103
D．0.109×105
3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3
D．a3÷a＝a3
5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
6．（2分）不等式2x≤6的解集是（ ） A．x≤3
B．x≥3
C．x＜3
D．x＞3
7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
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8．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧̂的长为（ ） 交边BC于点E，连接AE，则𝐷𝐸
A．
4𝜋3
B．π C．
2𝜋3
D． 3
𝜋
二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）因式分解：2x2+x＝ ．
𝑥+𝑦=512．（3分）二元一次方程组{的解是 ．
2𝑥−𝑦=1
13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为 ．
𝑘
𝑥
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 ．
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16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17．（6分）计算：2sin60°+（−）2+（π﹣2020）0+|2−√3|．
﹣
1
318．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O． （1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为 ．
四、（每小题8分，共16分）.
20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨
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余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ ，n＝ ； （2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？ 五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时． （1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为 ．
六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向
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运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N． （1）填空：AO的长为 ，AB的长为 ； （2）当t＝1时，求点N的坐标；
（3）请直接写出MN的长为 （用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t=时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为 ．
4
3
七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时， ①求证：PA＝DC； ②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为 ．
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=2x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点
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1
M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB． ①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=3S2时，求点M的坐标； （3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2√3时，请直接写出点G的坐标为 ．
2
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2020年辽宁省沈阳市中考数学试卷
参与试题解析
一.选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分） 1．（2分）下列有理数中，比0小的数是（ ） A．﹣2
B．1
C．2
D．3
【解答】解：由于﹣2＜0＜1＜2＜3， 故选：A．
2．（2分）2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ） A．1.09×103
B．1.09×104
C．10.9×103
D．0.109×105
【解答】解：将10900用科学记数法表示为1.09×104． 故选：B．
3．（2分）如图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形． 故选：D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝a5
B．a2•a3＝a6
C．（2a）3＝8a3
D．a3÷a＝a3
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意； B、a2•a3＝a5，故此选项不合题意； C、（2a）3＝8a3，故此选项符合题意； D、a3÷a＝a2，故此选项不合题意； 故选：C．
5．（2分）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为
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（ ）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
【解答】解：∵AC⊥CB， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∵直线AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝55°， 故选：B．
6．（2分）不等式2x≤6的解集是（ ） A．x≤3
B．x≥3
C．x＜3
D．x＞3
【解答】解：不等式2x≤6， 左右两边除以2得：x≤3． 故选：A．
7．（2分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件； B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件； 故选：A．
8．（2分）一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
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【解答】解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0， 故选：B．
9．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣3，0），点B（0，2），那么该图象不经过的象限是（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
−3𝑘+𝑏=0【解答】解：（方法一）将A（﹣3，0），B（0，2）代入y＝kx+b，得：{，
𝑏=2解得：{𝑘=3，
𝑏=2
∴一次函数解析式为y=3x+2． ∵k=＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y=x+2的图象经过第一、二、三象限， 即该图象不经过第四象限． 故选：D．
（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．
观察函数图象，可知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第四象限． 故选：D．
23232
2
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧̂的长为（ ） 交边BC于点E，连接AE，则𝐷𝐸
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A．
4𝜋3
B．π C．
2𝜋3
D． 3
𝜋
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠B＝90°， ∴AE＝AD＝2， ∵AB=√3， ∴cos∠BAE=
𝐴𝐵√3=， 𝐴𝐸2∴∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝60°， ̂的长=∴𝐷𝐸故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：2x2+x＝ x（2x+1） ． 【解答】解：原式＝x（2x+1）． 故答案为：x（2x+1）．
𝑥+𝑦=5𝑥=2
12．（3分）二元一次方程组{的解是 { ．
𝑦=32𝑥−𝑦=1𝑥+𝑦=5①
【解答】解：{，
2𝑥−𝑦=1②①+②得：3x＝6， 解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3， 𝑥=2
则方程组的解为{．
𝑦=3𝑥=2
故答案为：{．
𝑦=3
13．（3分）甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，
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60⋅𝜋×22𝜋
=3， 180
方差分别为S甲2＝2.9，S乙2＝1.2，则两人成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）． 【解答】解：∵𝑥甲＝7=𝑥乙，S甲2＝2.9，S乙2＝1.2， ∴S甲2＞S乙2， ∴乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y=（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为 6 ．
𝑘
𝑥
【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB， ∴OC＝BC＝2， ∵AC＝3， ∴A（2，3），
把A（2，3）代入y=𝑥，可得k＝6， 故答案为6．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为 8 ．
𝑘
【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点， ∴EF是△BCM的中位线， ∵EF＝6， ∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝12，
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∵AM＝2MD， ∴AM＝8， 故答案为：8．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为
52
或1 ．
【解答】解：如图1，当∠DPF＝90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，∠BAD＝90°＝∠OHD，AD＝BC＝8， ∴OH∥AB， ∴
𝑂𝐻𝐴𝐵
=
𝐻𝐷𝐴𝐷
=
𝑂𝐷𝐵𝐷
=，
21
1
∴OH=2AB＝3，HD=2AD＝4，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴∠APO＝∠EPO＝45°， 又∵OH⊥AD，
∴∠OPH＝∠HOP＝45°， ∴OH＝HP＝3， ∴PD＝HD﹣HP＝1； 当∠PFD＝90°时，
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1
∵AB＝6，BC＝8， ∴BD=√𝐴𝐵
2+𝐴𝐷2=√36+=10，
∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝OB＝OD＝5， ∴∠DAO＝∠ODA，
∵将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F， ∴AO＝EO＝5，∠PEO＝∠DAO＝∠ADO， 又∵∠OFE＝∠BAD＝90°， ∴△OFE∽△BAD， ∴∴
𝑂𝐹𝐴𝐵𝑂𝐹6
==
𝑂𝐸𝐵𝐷510
，
，
∴OF＝3， ∴DF＝2，
∵∠PFD＝∠BAD，∠PDF＝∠ADB， ∴△PFD∽△BAD， ∴∴
𝑃𝐷𝐵𝐷𝑃𝐷10
=
𝐷𝐹𝐴𝐷28
，
=，
5
∴PD=2，
综上所述：PD=2或1， 故答案为或1．
25
5
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17．（6分）计算：2sin60°+（−3）2+（π﹣2020）0+|2−√3|．
﹣
1
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【解答】解：原式＝2×=√3+12−√3 ＝12．
√32+9+1+2−√3
18．（8分）沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．（温馨提示：甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班男生用a表示，两名女生分别用b1，b2表示）． 【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽出的两名学生性别相同的结果数为3， 所以抽出的两名学生性别相同的概率=
31
=． 6219．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O． （1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为
154
．
【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，
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∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中， ∠𝑀=∠𝑁
{∠𝐴𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝑁， 𝐴𝑂=𝐶𝑂
∴△AOM≌△CON（AAS）； （2）如图所示，连接CE，
∵MN是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3， ∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2， 即32+（6﹣x）2＝x2， 解得x=4， 即AE的长为故答案为：
15415
．
154
．
四、（每小题8分，共16分）.
20．（8分）某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市m吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
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根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ 100 ，n＝ 60 ；
（2）根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为 108 度； （4）根据抽样调查的结果，请你估计该市2000吨垃圾中约有多少吨可回收物． 【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%=故答案为：100，60；
（2）可回收物有：100﹣30﹣2﹣8＝60（吨）， 补全完整的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°×100=108°， 故答案为：108；
（4）2000×100=1200（吨），
即该市2000吨垃圾中约有1200吨可回收物．
60
30
100−30−2−8
×100%＝60%， 100
21．（8分）某工程队准备修建一条长3000m的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修
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建盲道的长度比原计划增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【解答】解：设原计划每天修建盲道xm， 则
3000𝑥
−
3000(1+25%)𝑥
=2，
解得x＝300，
经检验，x＝300是所列方程的解， 答：原计划每天修建盲道300米． 五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时． （1）求证：DC＝AC；
（2）若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为 √3 ．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OD， ∴∠ODC＝90°， ∴∠BDO+∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OB＝OD，
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∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＝∠ADC， ∴CD＝AC； （2）∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO，
∵∠DCB+∠DBC+∠BDO+∠ODC＝180°， ∴∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°， ∴DC=√3OD=√3， 故答案为：√3． 六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（4，4），点B的坐标为（6，0），动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒（0＜t＜4），过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N． （1）填空：AO的长为 4√2 ，AB的长为 2√5 ； （2）当t＝1时，求点N的坐标； （3）请直接写出MN的长为
12−3𝑡2
（用含t的代数式表示）；
（4）点E是线段MN上一动点（点E不与点M，N重合），△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2，当t=3时，请直接写出S1•S2（即S1与S2的积）的最大值为 16 ．
4
【解答】解：（1）∵A（4，4），B（6，0），
∴OA=√42+42=4√2，AB=√(6−4)2+42=2√5． 故答案为4√2，2√5．
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4𝑘+𝑏=4
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，4），B（6，0）代入得到，{，
6𝑘+𝑏=0𝑘=−2解得{，
𝑏=12
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+12， 由题意点N的纵坐标为1， 令y＝1，则1＝﹣2x+12， ∴x=
11， 2112
∴N（
，1）．
（3）当0＜t＜4时，令y＝t，代入y＝﹣2x+12，得到x=∴N（
12−𝑡2
12−𝑡
， 2，t），
∵∠AOB＝∠AOP＝45°，∠OPM＝90°， ∴OP＝PM＝t， ∴MN＝PN﹣PM=故答案为
12−3×34
（4）．如图，当t=时，MN==4，设EM＝m，则EN＝4﹣m．
324
12−𝑡12−3𝑡
−t=． 2212−3𝑡2
．
由题意S1•S2=2•m×4×2（4﹣m）×4＝﹣4m2+16m＝﹣4（m﹣2）2+16， ∵﹣4＜0，
∴m＝2时，S1•S2有最大值，最大值为16． 故答案为16． 七、（本题12分）
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接
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11
PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时， ①求证：PA＝DC； ②求∠DCP的度数；
（2）如图2，当α＝120°时，请直接写出PA和DC的数量关系．
√35√3（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP=√31，请直接写出点D到CP的距离为 或 ．
22
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD， ∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°， ∴△ABC，△PBD是等边三角形， ∴∠ABC＝∠PBD＝60°， ∴∠PBA＝∠DBC， ∵BP＝BD，BA＝BC， ∴△PBA≌△DBC（SAS）， ∴PA＝DC．
②解：如图1中，设BD交PC于点O． ∵△PBA≌△DBC， ∴∠BPA＝∠BDC，
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∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
（2）解：结论：CD=√3PA． 理由：如图2中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°=√3BA，BD═2BP•cos30°=√3BP， ∴
𝐵𝐶𝐵𝐴
=
𝐵𝐷𝐵𝑃
=
√3，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°， ∴∠ABP＝∠CBD， ∴△CBD∽△ABP， ∴
𝐶𝐷𝑃𝐴
=
𝐵𝐶𝐴𝐵
=
√3，
∴CD=√3PA．
（3）过点D作DM⊥PC于M，过点B作BN⊥CP交CP的延长线于N． 如图3﹣1中，当△PBA是钝角三角形时，
在Rt△ABN中，∵∠N＝90°，AB＝6，∠BAN＝60°， ∴AN＝AB•cos60°＝3，BN＝AB•sin60°＝3√3， ∵PN=√𝑃𝐵2−𝐵𝑁2=√31−27=2， ∴PA＝3﹣2＝1，
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由（2）可知，CD=√3PA=√3， ∵∠BPA＝∠BDC， ∴∠DCA＝∠PBD＝30°， ∵DM⊥PC， ∴DM=2CD=2 如图3﹣2中，当△ABP是锐角三角形时，同法可得PA＝2+3＝5，CD＝5√3，DM=2CD=
5√3， 21
1
√3
√35√3综上所述，满足条件的DM的值为或．
22
故答案为
√35√3或． 22
八、（本题12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=2x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB． ①直接写出△MBN的形状为 等边三角形 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=3S2时，求点M的坐标； （3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2√3时，请直接写出点G的坐标为 （6，﹣2√3） ．
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1
2
【解答】解：（1）∵抛物线y=1
2x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣∴{18+6𝑏+𝑐=0𝑐=−3， 解得：{𝑏=−5
2，
𝑐=−3
∴抛物线解析式为：y=1
5
2x2−2𝑥−3；
（2）①如图2，过点D作DH⊥OB于H，设MN与x轴交于点R，
∵点B（6，0）和点C（0，﹣3）， ∴OC＝3，OB＝6，
∵线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD， ∴OD＝3，∠COD＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵DH⊥OB， ∴∠ODH＝30°，
∴OH=132OD=2，DH=√3OH=3√32，
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3），
∴BH＝OB﹣OH=，
√3𝐻𝐷
∵tan∠HBD==2=， 9𝐻𝐵39
23√32∴∠HBD＝30°，
∵点M关于x轴的对称点为点N， ∴BN＝BM，∠MBH＝∠NBH＝30°， ∴∠MBN＝60°， ∴△BMN是等边三角形， 故答案为：等边三角形； ②∵△ODB的面积S2=∴S1=3×2=3√3， ∵△BMN是等边三角形， ∴S1=
√3113√39√32×OB×DH=×6×=，且S1=S2， 2222329√34MN2＝3√3，
∴MN＝2√3，
∵点M关于x轴的对称点为点N， ∴MR＝NR=√3，MN⊥OB， ∵∠MBH＝30°， ∴BR=√3MR＝3， ∴OR＝3，
∵点M在第四象限， ∴点M坐标为（3，−√3）；
（3）如图3中，过点F作FH⊥BG交BG的延长线于H．
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由题意BE＝BF＝6，FK∥OB， ∴∠ABK＝∠FKB＝60°，
∵BG平分∠FBE，GF平分∠BFK，
∴∠FGB＝120°，设GH＝a，则FG＝2a，FH=√3a， 在Rt△BHF中，∵∠FHB＝90°， ∴BF2＝BH2+FH2，
∴62＝（2√3+a）2+（√3a）2，
解得a=√3或﹣2√3（不符合题意舍弃）， ∴FG＝BG＝2√3， ∴∠GBF＝∠GFB＝30°， ∴∠FBK＝∠BFK＝60°，
∴△BFK是等边三角形，此时E与K重合，BG⊥KF， ∵KF∥x轴， ∴BG⊥x轴， ∴G（6，﹣2√3）．
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