流体动力学基础[1]

2008.9

(授课老师：河口海岸国家重点实验室 丁平兴 教授 36学时，2学分)

一、流体力学的基本概念

1．1 流体力学的研究对象 1．2 流体力学的研究方法 1．3 流体力学的应用 1．4 流体的宏观性质 1．5 如何学好这门课程

二、流体运动学

2．1 描写流体运动的两种方法

1． 拉格朗日方法 2． 欧拉方法

3． 拉格朗日变数与欧拉变数之间的相互转换 4． 两种描述方法的比较

2．2 轨迹与流线

1． 轨迹 2． 流线

3． 轨迹与流线的联系与区别

2．3 连续方程

1． 系统和控制体

2． 用欧拉观点推导连续方程 3． 用通量法推导连续方程

2．4 流体元（微团）的速度分解 2．5 有旋运动学 2．6 无旋运动及速度势

1． 速度势 2． 单连通与多连通 3． 单连通中的速度势 4． 不可压流体的无旋运动

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三、理想流体运动学

3. 1 压强和压强梯度力

1． 作用于流体上的力 2． 压强

3． 表面力的合力：压强梯度力

3．2 理想流体运动方程式

1． 欧拉型运动方程 2． 状态方程

3． 拉格朗日型运动方程

3．3 边界方程

1． 初始条件 2． 边界条件

3. 4 运动方程的积分定理

1． 动量定理 2． 能量定理 3． 伯努利定理 4． 拉格朗日积分

四、平面问题

4．1 流函数的定义及其性质

1． 流函数的定义 2． 流函数的一些性质

4. 2 复势与复速度

1． 复势与复速度的定义 2． 复势的几个性质

4．3 基本流动及组合原理

1． 基本流动 2． 基本流动的组合

4．4 平面壁镜像与圆定理

1． 平面壁镜像

2． 圆柱面的镜像－圆定理

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五、粘性流体动力学

5．1 应力分析

1． 应力 2． 应力性质

5．2 Naiver-Stokes 方程

1． 粘性流体的运动方程 2． 直角坐标系中的N－S方程

5．3 N-S方程的几个解析解 5．4 柯氏力场中的N－S方程

六、相似理论与量纲分析

6．1 相似理论

1． 研究意义 2． 相似律

6．2 量纲分析

1． 基本概念 2． 基本方法

七、边界层理论简介

7．1 基本概念

1． 边界层概念 2． 边界层特征

7．2 普朗特边界层方程

八、湍流运动简介

8．1 平均运动理论

1． 雷诺实验 2． 湍流的随机性 3． 湍流的平均方法

4． 湍流的基本方程－雷诺方程

8．2 普朗特混合长度理论

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C.H.2 流体运动学思考题与习题

1． 思考题

(1) 描述流体力学的拉格朗日方法与欧拉方法各有何特点？在数学上如

何表示？

(2) 轨迹、流线如何定义？方程如何？两者在什么情况下一致？ (3) 何谓实质微商？局地微商？对流微商？流场定常、均匀表示什么意

义？

(4) 不可压流体与不可压均质流体之间有何区别？(数学及物理意义) (5) 连续方程据什么定律建立？试用通量法导出±直角坐标系下的连续

方程。

(6) 流体微团运动速度能分解成哪三部分？叙述每部分的物理意义。 (7) 何谓有旋运动？涡线如何定义？方程如何？

(8) Stokes定理与Helmoltz运动学涡旋定理各有什么物理意义？ (9) 在什么条件下能引入速度势？引入速度有何意义？ (10) 单连通域中速度势有哪些特点？

2． 习 题

(1) 已知二维速度场

Ux,Vy

试求流线方程及通过点M(2,3)的流线。 (2) 设流体运动以欧拉变数表示为

Uy,Vx,W0

试求流线与规迹。 (3) 设流场为

Uxt2,Vyt2,W0

试求流场的流线、流体质点的轨迹和加速度，并用拉格朗日变数表示质点的速度和加速度。 (4) 设流场为

Uky,Vkxt,W0

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其中k、为常数，试求t0时，点M(a,b,c)的流线及t0时，于M(a,b,c)处流体质点的轨迹，最后考虑0的情形。 (5) 在二维波动中，速度由下式表示

UHmzHmzkecosktmx,Wkesinktmx 22求流线与规迹 ［(注：求规迹时可用平衡位置(x0, z0)取代(x, z)) (6) 一不可压缩流体的流场，其x方向的速度分量为

Uax2by

z方向的速度分量为零，试求y方向的分量V，假定y0时，V0。 (7) 已知欧拉方法表示的速度场为

Ukxyz,Vkyzx,Wkzxyz2

试问当k为何值时，该流场为不可压流场。

(8) 设有一水渠，其横截面为矩形，底为水平，纵向轴线为x轴，渠宽

为b(x)，水面瞬时高度为h(x,t)，且各截面上的平均速度为U(x,t)，水的密度const试求连续方程。 (9) 已知速度势

①xy

②xxy22

试求速度场、流体质点的加速度及流线。

(10) 假定流体象刚体一样以常角速度绕oz轴旋转，求速度的旋度场及

涡线。

(11) 流体质点的速度与质点到ox轴的距离成正比，并且与ox轴平行，亦

即

UCy2z2,VW0,C:常数

求旋度场及涡线。

C.H.3 理想流体动力学思考题

1． 有哪两类力作用在流体上，数学上如何表示？

2． 什么叫压强梯度力，作用于单位体积流体上的压强梯度力是多少？ 3． 理想流体压力（压强）有什么特性？

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4． 为什么在非定常运动中不便使用动量定理，在实际问题中如何应用动量定理。 5． 伯努利积分与伯努利－拉格朗日积分有何区别？

6． 不可压流体能量积分定理中各项物理意义如何？如何应用这个定理。 7． 在什么条件下，如何分别导出伯努利积分与拉格朗日无旋积分。

C.H.3 理想流体动力学习题

1．一垂直折管ABC（LB＝90o）, C点封闭，AB垂直，BC水平，管中充满液体。如将C点开放, 试求垂直与水平管中液体的压强分布和运动规律。图中AB＝a, BC = b. A

B C

2．试求流体力学作用在等截面直角管上的力（直角管如题1如示），设进出口处流速为U。

3． 如图在深水为h的容器底部有一水平截面积很小的孔，容器内盛满水，求孔口

处的流速，并求作用在容器上的力，（设2/1<<1） 1 h 2 4．截面均匀的垂直细管AB在下端分别为水平的两个水管BC和BD，其截面积为垂直截面积的一半，在管子的接合处各有龙头开关，关闭龙头时液体在垂直管AB中的高度AB＝a, 当两龙头打开后，求流体的运动规律。

y A

x C B D

5．如图有一水平收缩管，上端接水（稳定流动），出口断面B通大气，其压强为大气压强p0, 在A断面最小，A，B处的截面分别为A 与B。在A处有一细

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玻璃管通水槽，试证明槽中水将被吸上其高度为

A B  h  6．有一截面变化的长方形沟渠，底部水平，水定常的通过此渠，如u, h 分别为流体的速度和流体的表面的高度。试证明：当u2hQ11[22] 式中Q为流量。 2gAB

C.H.4 平面问题思考题

1． 什么叫平面问题？

2． 引入流函数的条件是什么？流函数有哪些特性？ 3． 在什么条件下引入复势？复势有哪些特性？ 4． 最基本的流动有哪几种？复势如何？

5． 偶极子、圆柱绕流各可看成哪些基本流动的叠加？

6． 如何应用平面壁镜像与圆定理求引入平面壁边界及圆柱边界后新的复势？ 7． 在什么条件下可应用勃拉体斯合力公式？

C.H.4 平面问题习题

1． 已知速度势  及流函数  分别为

（a） , lnr

22（b） 2xy, x2y2

试写出复势W ( z ) 的表达式。

2． 已知二维不可压流场 V＝－ky, 且当x=0 时，U＝0，试给出描述该流场的流

函数，并画出流线草图。

3． 设在z0处有一强度为m的点源，求地面（取x轴）对它影响后的复势。 4． 设在Z=1+i 点有强度为m的点源，ox、oy轴为直角固壁，求流体运动的复

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势，并求在z=1 处的速度值。

5． 平面边界（x=0）附近z = a处有强度为m 的源，求边界上的速度分布。 6． 在圆柱| z | = a 外部x = b ( b >a ) 处有强度为的涡，求考虑圆柱后的复势。

C. H. 5 粘性流体动力学问题

1．一厚度为h 的流体层，上界为自由面，下有一与水平成角的平板所支撑，试确定不可压流体在重力作用下的运动，即给出1、流体的速度 2、压强分布 3、通过垂直于xoy平面在z 方向单位长度的质量流量 y h  x 2．一足够宽的皮带以速度V0在盛有液体的容器内铅直向上运动，由于粘性，皮带将携带一层液体，设携带的液体厚度h 很小，若不计大气摩擦，试求 a. 液体层所满足的边界条件

b. 液体层内的速度分布，当V0为何值时，液体自由面上的液体不运动 c. 被皮带带走的流量（单位宽度） d. 单位面积皮带上的摩擦力

3．流体沿足够长的椭圆截面管道作定常层流，试确定管内的流速分布，椭圆管的周线方程为

y2z2 221

bcy2z2 提示：设流速u的试解形式为：uA(221)

bc0 z 0

xby

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C. H. 5. 粘性流体动力学思考题

1．粘性流体应力怎样？有何特性？ 2．粘性流体应力与变形速度关系？

3．分别写出惯性固定座标系和非惯性（柯氏力场中）坐标系下的N－S方程，并解释各项物理意义。

4．若Re1, 或 Re1, N-S方程可如何简化？

C．H．6 相似理论与量纲分析思考题

1．为使模型能正确地反映原型的流场特性，在设计模型时，从理论上讲应考虑哪三个相似条件？

2．粘性不可压流动的相似准则是什么？它们各表示什么物理意义？ 3．什么叫量纲分析？量纲分析的基本思想是什么？

4．在流体力学中，若不考虑温度变化，常选用哪三个基本量纲？ 5．何谓定理？如何用定理进行量纲分析？ 6．如何用Raylergh 法进行量纲分析？

7．若选L. T. M为三个基本量纲，如何导出阻力R，粘性系数 ，密度， 压力p, 重力加速度g 等的量纲？

C．H．6 相似理论与量纲分析习题

1、用1：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题，若实际潜艇水下航速为10节，问在水槽中进行兴波阻力试验时，船模的拖曳速度为多大？

2、一模型港的尺度比为280：1，暴风浪的振幅是5m，传播速度是10m/s, 问： （a） （b）

若忽略摩擦，模型内的波浪尺寸与波速应取多少？

如原型内的潮周期是12 小时，那么模型内的潮周期应是多少？

3、无穷远处均匀的水平方向水流，以速度U定常流过直径为d的圆球，试求圆球所受阻力R。

4、试用定理确定不可压流体水平流过无穷长光滑管时的压力降落（pp2p1）, 压力降落p认为主要分别与管子的直径D、水密度，水流速度U，粘性系数 有关。

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C.H.7 ~ C.H.8边界层与湍流运动思考题

1． 边界层有哪些主要特征？

2． 据边界层概念确定边界层厚度的量级。

3． 试写出平壁面上二维边界层方程及定解条件（假定流体质均不可压，忽

略质量力）。

4． 湍流运动的特征是什么？

5． 雷诺方程是如何导出的？什么叫雷诺应力？

6． 湍流粘性系数 t与分子粘性系数有什么不同？它们的量级如何？ 7． 试写出Prandtl与Karman导出的雷诺应力与平均速度关系式。

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