组合的基本应用(一)

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的m组合数．记作Cn．n一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数Pm可分成以下两步：m第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cn种方法；m种排法．第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmmm根据乘法原理，得到PnmCn．PmPnmn（n1）（n2)（nm1）因此，组合数Cm．Pmm（m1）（m2）321mn这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质

mnm一般地，组合数有下面的重要性质：Cn(mn)Cnmnm这个公式的直观意义是：Cn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法．Cn表示从n个元素中取出(nm)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组方法．3C52．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C5n0规定Cn1，Cn1．例题精讲模块一、组合之计算问题

5【例1】计算：⑴C62，C；⑵C72，C7．1985598100【例2】计算：⑴C200；⑵C56；⑶C100．2C1003998【巩固】计算：⑴C12；⑵C1000；⑶P82C82．模块二、组合之体育比赛中的数学

【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【例4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球．【例5】一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛？【例6】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【例7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式．问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？模块三、组合之数字问题

【例8】从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？⑵有多少个不同的乘法算式？【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【巩固】从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？【例9】有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1，2，3，4，5，从这些卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有________种取法？【例10】在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【巩固】从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【例11】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【例12】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【例13】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？【例14】从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．【例15】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【巩固】用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？