维普资讯 http://www.cqvip.com 第２６卷总第３１２期 ２００８年第３期（下半月） 物理教学探讨 Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．３１２ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ （Ｘ） ３．２００８．３１． 活用“一静一动 ’’弹性 碰撞速度公式 汤金武 ● 开阳第三中学，贵州省开阳县５５０３００ 位于光滑水平面上的两个弹性小球，质量 分别是ｍ 和ｍｚ，速度分别是 和 ｚ，其中 ≠ 笔者拟以公式①②为基础，导出两球速度 均不为零时；发生完全弹性碰撞后的速度公式， ０，Ｖ２—０。若两球发生完全弹性碰撞，根据机械 守恒定律和动量守恒定律可导出两球碰撞后的 速度 和 。的大小分别是： ’ 并通过典型的例题分析说明它们的具体应用。 １ 光滑水平面上的两小球速度方向相反。发生 完全弹性碰撞。 ｌ ———■一 】； ｍｌ十ｍ２ 一 ‘ ① ② 如图１，两球质量分别是ｍ 和ｍｚ，碰撞前速 度分别是 和 。，且 ≠０，Ｖ２≠０，求碰撞后的 速度 ｌ和 ２。 ，。一— ２ ———＿ 。＿ ｌ ｍｌ－ｉ－ｍ２ 本题若用动量定理，将人、车、球视为一个 系统，系统的动量变化是挡板对球作用力的冲量 造成的。挡板每次对球的冲量大小为２ｍｙ，方向 向右。设人推球的次数为７１＂，按动量定理有： ２ｎｍｖ＝（Ｍ＋ ） 本题常用的方法是对每一次碰撞用动量守 恒定律。设每次小球Ｂ射入后再射出时，小球Ａ 的速度依次为 ｌ、 ２、 ３…… ，卜ｌ、０ 由动量守恒定理得： Ｍｙｏ—ｐ—Ｍｙｌ＋ｐ Ｍｙｌ—ｐ＝Ｍｙ２＋ｐ Ｍｙ２～ｐ—Ｍｙ ３＋ｐ ・ 人不能接到球的条件是 ≥ ，得 ≥ ３３／４，所以接了９次后再抛出就不能接到球。 例３ 在纳米技术中需要移动式修补原子， 必须使在不停地做热运动的原子几乎静止下来 且能在一个小的空间区域内停留一段时间。为此 华裔诺贝尔物理奖得主朱棣文发明了“激光致 Ｊ！Ⅵ ，卜ｌ—ｐ ０＋ｐ 等式两边相加得：Ｍｙ。一ｎｐ；ｎｐ ＝ 冷”技术。若把原子和入射光子看成两个小球， 则“激光致冷”与下述力学模型类似。一质量为 Ｍ的小球Ａ以速度 。水平向右运动，如图３所 示。一个动量大小为ｐ的小球Ｂ水平向左射向小 球Ａ并与之发生碰撞。当两球形变量最大时，形 变量突然被锁定一段时间ＡＴ，然后突然解除锁 总时间 一ｎＡＴ＝笔 Ｔ 上述方法显得繁锁。 若用动量定理，可认为Ａ球的动量变化是Ｂ 球对它的冲量造成的。每一次碰撞，由于小球Ｂ 的动量变化大小为２ｐ，故小球Ｂ对Ａ的冲量大 小也为２ｐ， 次碰撞后Ｂ对Ａ的冲量大小为 ２ｎｐ，由动量定理有： ２ｎｐ＝Ｍｙ０ 定使小球Ｂ以大小相同的动量ｐ水平向右弹出。 紧接着小球Ｂ再次以大小为ｐ的动量水平向左 射向小球Ａ，如此不断重复上述过程，小球Ｂ每 次射入时动量大小为ｐ，弹出时动量大小仍为ｐ， 最终小球Ａ将停止运动。设地面光滑，除锁定时 间△Ｔ外，其他时间均可不计，求从小球Ｂ第一 次入射开始到小球Ａ停止运动所经历的时间。 得出 一 Ｍｖｏ Ｔ ｐ ． ，同样有总时间 ＝ｎＡＴ＝ 以上三例说明动量定理不仅可以解决单个 物体的动量变化问题，也可应用于相互作用的一 个系统。在多次碰撞的情况下（如例２、例３），应 一 图 ３ 用动量定理来解决问题更为方便简捷。 维普资讯 http://www.cqvip.com Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．３ｉ２ （Ｘ） ３。２００８。３２。 理教学探讨 第２６卷总第３１２期 ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ ２００８年第３期（下半月） 了 ７一 ７ ７， 一 图 １ 分析与解 以质量为 的小球为参照物， 并取 的方向为正方向，ｍ 相对于？７／。的速度大 小 ２一 ｌ一（一 ２）一 ＋ ２ 由公式①、②可得到以ｍ 为参照物的碰后 速度公式： １２ 一———■一 １十一 ； （ １＋７７）２２）Ｊ ③ ／０＂２２ 一———一— ■一一 Ｌ一（７）１ ＋＂十 Ｊ０＂２２） ④ 再以大地为参照物，则两球碰撞后的速度 ｌ和 ２分别为： ２： ２２一 ２ — （ ｌ＋ ２）一 ２ ｜ｌＬ１ ｍ２ ⑥ ２ 光滑水平面上两球的速度方向相同，发生完 全弹性碰撞。 如图２，设两球质量分别是 。和 。，速度大 小分别是 ｌ和 ２，且 ｌ≠０． ２≠０， １＞ ２，求 两球碰撞后的速度 和ｕ 。 ７ ７７７７７７７７７７７ ７７ 一 图 ２ 分析与解 以质量为ｍ。的小球为参照物， ｍｔ相对于ｍ２的速度 ｔ２一 ｔ一７）２。 由公式①、②可得到以ｍ。为参照物的碰后 速度公式： Ｖ１２一 ； （ 一７）２） ⑦ ＴＹ／１—ｒ，，ｚ２ ７）２２ 一—— 一（一 一（ ｌ一 ） 一７７Ｊ２２） ⑧ ＴＹ／１—ｆ ＪＨ 再以大地为参照物，则两球碰后的速度 和 。大小分别为： １ ＝ ： １２ ＋ ２：十 ２＝ ｍｌ－￣－ｚｎ（１一 ２ Ｊ十 ０ １一 ２）＋ ２ ｆＨ —ｆ ｍ２ ⑨ ２一 ＝＝ ２２＋ ２一十 ２＝一— ——＿一＿ （７）１一 ２）＋ ２— ２ 十 ２ ， １ １－ｍ２ ⑩ ３ 例题分析 如图（３）所示，一轻弹簧直立在水平地面 上，其下端固定，上端连一质量为Ｍ的钢板，处 于静止状态，现有一质量为 的小球，从距钢板 ５米高处自由落下，并与钢板发生碰撞，碰撞时 间极短且无机械能损失，已知Ｍ—ａｍ，不计空 气阻力，取ｇ一１０ｍ／ｓ２。 Ｏ ⑤ 图 ３ ．（１）求小球与钢板第一次碰撞后的瞬间小 球的速度 。和 。 （２）如果钢板做简谐运动的周期为２ｓ，求小 球第二次与钢板碰撞后小球的速度 和钢板的 速度 ２。 分析与解 ①小球自由下落与钢板碰撞前 的速度 ：，／ｇｇｈ一一、 ＿ｒ哺一１０（ｍ／ｓ） 由前述公式①、②可得小球与钢板碰后的速度： ｍ－１一 一——＋—３ｍ ｘ ３ｍ×１０ —ｍ＝＝＝——５（ｍ／ｓ） ７－）２ ２ｍ ｒ 一一 —— ｏ＝ Ｏ一。 ×１０１十 ２ ４ ｍ ＝：５（ｍ／ｓ） ②根据运动学规律可推知，小球与钢板第 二次碰撞的位置在钢板的平衡位置处，碰前钢板 的速度大小为５ｍ／ｓ，方向竖直向上；小球的速度 大小为５ｍ／ｓ，方向竖直向下，两个物体的速度均 不为零。 ・ 根据前述公式⑤、⑥可得，第二次碰撞后， 小球的速度 １ 一 ——＿一 ｌ十 ； （ ｌ＋＂＂０２２）一 ２一 ２ 一一１０ｍ／ｓ 钢板的速度 ２一— ２一——＿ ｌ十 ２（ ｌ＋ ２）一 一 一０。 即碰后，小球反向运动，其速度大小为 １０ｍ／ｓ，钢板的速度变为零。
