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《龙文教育一对一个性化课程 学案》
圆的常用辅助线作法介绍
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。
A
【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，
那么OP的长的取值范围是_________．
BOC体验1
看题
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点， 求证：AC=BD.
体验2
1
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看题
如图，已知⊙O的两弦AB和CD交于P，∠1=∠2，求证：ADCB.
体验3
看题
DEACPOB如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于P点，且∠APC=30°，AP=2cm，BP=6cm，
求CD的长.
“招数”归纳
体验了三道题，我们有没有发现添加弦心距的题目的特点？ 添加弦心距的题目的一般特点： 1． 图形不复杂，且出现了弦； 2． 多是证明线段、角、弧相等；
3． 计算多是求圆中线段（弦，或者弦的一部分）长度. 4．
2． 遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,
∠B=
AOBC
【例4】如图1，以点M（－1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y
＝－ 353 x－ 与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F． 33
2
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（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值。
y B C H F 图1 M O D x A C P Q y B M O D x A 图2
E E H
3． 遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
A作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=8，AC=6，⊙O的半径是
BCO4． 遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例6】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，
则∠C的度数是________.
5． 遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理，得到直角或直角三角形。
【例7】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线
于D，求证：AC=CD．
3
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（2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
【例8】已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF。
⑴如练图1①所示，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是(只需任写一种)＿＿＿＿。
⑵如练图1②所示，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线。 ⑶如练图1③所示，若延长BC交EF于点E，∠CAE=∠B，则EF是⊙O的切线吗？
A E
O B
A E
O B D
E
F
F
A C O
D 练图1③
F B C 练图1① C 练图1②
6． 遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
【例9】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
【例10】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点
E、F． 求证：AB是⊙O切线；
4
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7． 遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
【例11】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上
任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周 长为12，则PA长为______________
OCBEADP
8． 遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； ② 内心到三角形三条边的距离相等。
【例12】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=
【例13】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，
E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
【例14】如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上
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任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C． （1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
S2（3）记△ABC的面积为S，若DE＝43，求△ABC的周长.
C P D A O
E
B
[巩固训练]
一、证明解答题
1．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．
2．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.
A
o
M C N B
.
.
3．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
.
6
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4．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.
CB ODCMPAQNA
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为F.求证：DE=CF.
6．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连AC交⊙O于D，过D作⊙O的切线EF，交BC于E点.求证：OE//AC.
A
FO
D CBE
7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。
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（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=6，AE=245，求BD和BC的长。 8
