考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 关于x的一元二次方程x2−x+a=0有一个根为3，则另一个根为（ ）A.−2B.−3C.−6D.2
3. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2
B.200+200(1+x)2=1000C.200(1+x)+200(1+x)2=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000
4. 2014年“双十一”淘宝商城销售额达到571亿元，2016年上升至1207亿元．设这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）A.571(1+x)＝1207
B.571(1+2x)＝1207C.571(1+x)2＝1207D.571(1+x)+350(1+x)2
＝1207
5. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 若关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0A.−1B.0C.1D.2
7. 将抛物线y=x2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是（ ）A.y=x2+xB.y=x2−xC.y=x2−1D.y=x2+1
8. 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是( )
有实数根，则整数a的最大值为(
)
A.顺时针旋转90∘B.逆时针旋转90∘C.顺时针旋转45∘D.逆时针旋转45∘
9. 如图，在△ABC中，∠A＝90∘，AB＝AC＝2．以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的周长是（ ）
A.B.C.D.1−
10. 如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140∘，∠CAO＝60∘，OA＝4，则的长为（ ）
+2+2
A.B.C.D.2π
11. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( )
A.2B.2.2C.2.4D.2.5
12. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息：①
3
abc<0；②a+b+c<0；③b+2c>0；④4ac−b2>0；⑤a=b．你认为其中正确信息的个数有
2（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 若x1，x2是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，则代数式x21−2x1+2x2的值等于________.
1
14. 如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作
2弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为________．
15. 如图，抛物线y＝a(x+2)2+3(a<0)与y轴正半轴交于点A，过点A作AB//x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M、交x轴于点M，连结MA、MB、MA、NB，则四边形ANBM的面积为________．
16. 抛物线y=x2+k的顶点为点F，与x轴交于A、B．两点，如果△ABF是等边三角形，那么k=________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
17. 解方程：(2x+1)(2x−1)=x(2x−1).
18. 平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90∘，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B2，C2的坐标.
19. 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90∘，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=30∘，EB=8，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
20. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
21. 如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
立，请说明理由；
(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成(2)当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；
–②当AD=4，DG=√2时，求CH的长．
22. 在平面直角坐标系中， A(a,0),B(0,b)分别是π轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于γ轴对称，点P是π轴正半轴上C点右侧一动点．
(1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时，求A，B的坐标；
(2)当a+b=0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB=PF
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45∘，交α轴于点Q，当CP=AQ时，求∠APB的大小．
第28题图2第28题图1
参与试题解析
2022-2023学年山东省日照市某校初三（上）期中考试数学试
卷试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.
【答案】
D
【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】
解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；故选D.
2.
【答案】
A
【考点】一元二次方程的解【解析】
由关于x的一元二次方程x2−x+a=0有一个根是3，代入,可得a,再解方程即可得到答案．【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2−x+a=0有一个根是3，∴将x=3代入方程得：9−3+a=0，∴a=−6，则原方程为： x2−x−6=0，∴ (x−3)(x+2)=0，
解方程得， x1=3，x2=−2.故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】
解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×(1+x)，
∴三月份的营业额为200×(1+x)×(1+x)=200×(1+x)2，
2∴可列方程为200+200×(1+x)+200×(1+x)=1000，
2即200[1+(1+x)+(1+x)]=1000．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程【解析】
增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设从2014年到2016年年平均增长率为x，根据已知可以得出方程．【解答】
如果设从2014年到2016年年平均增长率为x，那么根据题意得今年为：571(1+x)2，列出方程为：571(1+x)2＝1207．
5.
【答案】
C
【考点】二次函数的图象一次函数的图象【解析】
本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=bx2+a的图象相比较看是否一致．【解答】
解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a<0，由直线可知，图象过一，三象限，a>0，故此选项错误；
B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a>0，二次项系数b为负数，与一次函数y=ax+b中b>0矛盾，故此选项错误；C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a<0，由直线可知，图象过二，四象限a<0，故此选项正确；D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b<0，由抛物线可知，开口向上，b>0矛盾，故此选项错误；故选C．
6.
【答案】
B
【考点】根的判别式
一元二次方程的定义【解析】
由关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，则a−1≠0，且△≥0，即△=(−2)2−8(a−1)=12−8a≥0不等式得到a的取值范围，最后确定a的最大整数值．【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+2=0有实数根，∴△=(−2)2−8(a−1)=12−8a≥0且a−1≠0，
，解
3
且a≠1，2∴整数a的最大值为0．故选B．7.
∴a≤【答案】
D
【考点】
二次函数图象与几何变换【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】
解：抛物线y=x2的顶点(0,0)向上平移1个单位后为(0,1)，
∴抛物线y=x2向上平移1个单位得到的抛物线解析式为y=x2+1.故选D.
8.
【答案】
B
【考点】旋转的性质【解析】
此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．【解答】
解：根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90∘可得到△ADE．故选B．
9.
【答案】
C
【考点】切线的性质等腰直角三角形【解析】
求出AE、AD的长，以及弧DE的长即可求出阴影部分的周长，根据切线的性质，平行线等分线段定理可求出AE、AD，以及弧DE的半径和相应的圆心角度数，根据弧长公式求出弧DE的长度即可．【解答】
连接OE、OD，
∵以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，∴OE⊥AC，OD⊥AB，又∵∠A＝90∘，
∴四边形OEAD是正方形，
又∵点O是BC的中点，OE⊥AC，∴AE＝EC＝AC＝3，∴AE＝AD＝OD＝OE＝1，∴
＝
＝
，
∴阴影部分的周长为
10.
【答案】
+2，
C
【考点】弧长的计算圆周角定理【解析】
首先判定三角形为等边三角形，再利用弧长公式计算．【解答】连接OC，
∵OA＝OC，∠CAO＝60∘，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60∘，∵∠AOB＝140∘，∴∠COB＝80∘，∵OA＝4，∴
的长＝
＝
11.
【答案】
π，
C
【考点】矩形的判定与性质勾股定理垂线段最短【解析】
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】
解：如图，连结AP，
∵∠A=90∘，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90∘，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90∘，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：×4×3=∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．
121
×5×AP2，
12.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系【解析】
利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或−1时y的符号，进而判断得出答案．【解答】
②由图象可得出：当x＝1时，y<0，
∴a+b+c<0，故选项②正确（1）③当x＝−1时，y＝a−b+c>0，∴b−b+c>0，故选项④错误．故正确的有3个．故选：B．
32∴b+2c>0，故选项③正确（2）④抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，则4ac−b2<0，
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.
【答案】
2029
【考点】根与系数的关系一元二次方程的解【解析】
2由题意把x1代入方程可得x21=4x1+2021，由一元二次方程的根与系数的关系可得y1+x2=4 x1x2=−2021，把x1和
x1+x2=4，代入所求代数式计算即可求解．
【解答】
解： ∵x1,x2是方程x2−4x−2021=0的两个实数根，∴x1+x2=4，
2x21−4x1−2021=0，即x1−4x1=2021，
则原式=x21−4x1+2x1+2x2
=x21−4x1+2(x1+x2)=2021+2×4=2021+8=2029.
故答案为：2029.14.
【答案】
−√−30
【考点】作图—基本作图矩形的性质勾股定理
线段垂直平分线的性质【解析】
连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3【解答】
解：连接AE，如图所示，
，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC=3，
−−−−−−–在Rt△ADE中，AD=√32−22=√5，
−.在Rt△ADC中，AC=√(√–5)2+52=√−30
故答案为：√30．
−−−−−−−−−
−−
15.
【答案】
6
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征二次函数的性质抛物线与x轴的交点【解析】
根据二次函数的性质得到抛物线y＝a(x+2)2+3的顶点坐标为(−2,3)，抛物线的对称轴为直线x＝−2，利用抛物线的对称性得
到AB＝4，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】
抛物线y＝a(x+2)2+3的顶点坐标为(−2,3)，抛物线的对称轴为直线x＝−2，∵AB//x轴，∴AB＝2×2＝4，∴四边形ANBM的面积=
16.
【答案】
11
×AB×MN=×4×322＝6．
−3
【考点】一次函数的综合题等边三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】
解：∵y=x2+k的顶点F的坐标为(0,k)，且与x轴交于A,B两点，
∴k≠0，
−，x=−√−−−，∴当y=0时，x2+k=0，解得x1=√−−−k−k2
−,0)，B(−√−−−,0)，∴A(√−−−k−k
−−−−−−−，|FA|=√−∴|AB|=2√−−−k−k+k2，
∵△ABF是等边三角形，
−−−−−−−−−−∴|AB|=|FA|，即2√−k=√−k+k2，解得k=0(舍去)或−3．
故答案为：−3．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.
【答案】
解：(2x+1)(2x−1)=x(2x−1)因式分解，得(x+1)(2x−1)=0则有x+1=0或2x−1=0，解得x1=−1或x2=
，，
1，21
所以原方程的解为x1=−1或x2=.
2【考点】
解一元二次方程-因式分解法【解析】
利用因式分解，即可求方程的解.【解答】
解：(2x+1)(2x−1)=x(2x−1)因式分解，得(x+1)(2x−1)=0则有x+1=0或2x−1=0，解得x1=−1或x2=
，，
1，21
所以原方程的解为x1=−1或x2=.
218.
【答案】
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求.
点B2、C2的坐标为B2(4,−2)，C2(1,−3).【考点】作图－平移变换作图-旋转变换【解析】
（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求.
点B2、C2的坐标为B2(4,−2)，C2(1,−3).
19.
【答案】
(1)证明：连接OD，如图，
∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC//BE，∴∠1=∠3，∠2=∠4.∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2.
在△ODC和△OAC中
OD=OA,∠1=∠2,
OC=OC,
∴△ODC≅△OAC(SAS)，∴∠ODC=∠OAC=90∘，∴OD⊥CD，∴CF是⊙O的切线.(2)解：∵∠F=30∘，∴∠FOD=60∘，∴∠1=∠2=60∘，
∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC=BE=8;在Rt△AOC中，
1
OA=OC=4，AC=√–3OA=4√–3，
2∴图中阴影部分的面积=S四边形AODC−S扇形AOD
1120⋅π⋅42–=2××4×4√3−236016–=16√3−π．3【考点】扇形面积的计算切线的判定平行四边形的性质【解析】
（1）连接OD，如图，根据平行四边形的性质得OC//BE，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠1=∠2，则可根据“
∘
SAS”判断△ODC≅△OAC，从而得到∠ODC=∠OAC=90，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）利用∠F=30∘得到∠FOD=60∘，则∠1=∠2=60∘，再根据平行四边形的性质得OC=BE=8，接着在Rt△AOC中计算出OA=4，AC=4√–3，然后利用扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S四边形AODC−S扇形AOD进行计算．【解答】
(1)证明：连接OD，如图，
∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC//BE，∴∠1=∠3，∠2=∠4.∵OB=OD，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2.
在△ODC和△OAC中
OD=OA,∠1=∠2,
OC=OC,
∴△ODC≅△OAC(SAS)，∴∠ODC=∠OAC=90∘，∴OD⊥CD，∴CF是⊙O的切线.(2)解：∵∠F=30∘，∴∠FOD=60∘，∴∠1=∠2=60∘，
∵四边形EBOC是平行四边形，∴OC=BE=8;
在Rt△AOC中，
1
OA=OC=4，AC=√–3OA=4√–3，
2∴图中阴影部分的面积=S四边形AODC−S扇形AOD
1120⋅π⋅42–=2××4×4√3−236016
=16√–3−π．
320.
【答案】
解：(1)由题意得：y=(210−10x)(50+x−40)
=−10x2+110x+2100（0 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元.【考点】 二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质二次函数的应用一元二次方程的解【解析】 （1）根据题意可知y与x的函数关系式． （2）根据题意可知y=−10−(x−5.5)2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．（3）设y=2200，解得x的值．然后分情况讨论解．【解答】 解：(1)由题意得：y=(210−10x)(50+x−40) =−10x2+110x+2100（0 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元. 21. 【答案】 解：(1)AG=CE成立． 证明：∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，∴GD=DE，AD=DC，∠GDE=∠ADC=90∘． ∴∠GDA=90∘−∠ADE=∠EDC． ∴△AGD≅△CED．∴AG=CE． (2)①类似(1)可得△AGD≅△CED，∴∠1=∠2． 又∵∠HMA=∠DMC，∴∠AHM=∠ADC=90∘， 即AG⊥CH． ②连接GE，交AD于P，连接CG， 由题意有GP=PD=√–2×sin45∘=1， −−∴AP=3，AG=√10． ∵EG⊥AD，CD⊥AD，∴EG//CD， ∴以CD为底边的△CDG的高为GK=PD=1，（延长CD画高）, S△AGD+S△ACD=S四边形ACDG=S△ACG+S△CGD −×CH+4×1∴4×1+4×4=√−10−8√−10 ∴CH=． 5【考点】 全等三角形的性质与判定旋转的性质正方形的性质【解析】 （1）寻找AG、CE所在的两个三角形全等的条件，证明全等即可；（2）①由△AGD≅△CED，可知∠1＝∠2，利用对顶角相等及互余关系证明垂直； ②连接GE交AD于P，根据S△AGD+S△ACD＝S四边形ACDG＝S△ACG+S△CGD，再分别表示四个三角形的底和高，列方程求CH．【解答】 解：(1)AG=CE成立． 证明：∵四边形ABCD、四边形DEFG是正方形，∴GD=DE，AD=DC，∠GDE=∠ADC=90∘． ∴∠GDA=90∘−∠ADE=∠EDC． ∴△AGD≅△CED．∴AG=CE． (2)①类似(1)可得△AGD≅△CED，∴∠1=∠2． 又∵∠HMA=∠DMC，∴∠AHM=∠ADC=90∘，即AG⊥CH． ②连接GE，交AD于P，连接CG， 由题意有GP=PD=√–2×sin45∘=1， −−∴AP=3，AG=√10． ∵EG⊥AD，CD⊥AD，∴EG//CD， ∴以CD为底边的△CDG的高为GK=PD=1，（延长CD画高）, S△AGD+S△ACD=S四边形ACDG=S△ACG+S△CGD −×CH+4×1∴4×1+4×4=√−10−8√−10 ∴CH=． 522. 【答案】 【考点】 关于x轴、y轴对称的点的坐标二次函数综合题 二次函数图象与系数的关系作图—复杂作图三角形的面积【解析】 【解答】
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