湖南师大附中2022届高三下学期4月高考模拟试卷(一)数学试题(含答案解析)

数 学

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后．再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A=−1,2，B=xmx−1=0，若A组成的集合是（ ） A．−B=A，则符合条件的所有实数m

1,0,1 2B．−1,0,2 C．−1,2

D．−1,0,

122．已知sin+A．第一象限

43，sin=+=，则角所在的象限是（ ） 25225B．第二象限

C．第三象限

2D．第四象限

3．设随机变量～N（μ，1），若函数f(x)=x+2x−没有零点的概率是0.5，则

P(01)=（ ）

附：若~N,2，

则P(−X+)=0.6826，P(−2X+2)=0.9544．

B．0.1359

C．0.2718

D．0.3413

()A．0.1587

x2y24．已知双曲线C：2−2=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双

ab曲线C上在第一象限内的一点，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则C的离心率的取值范围是

（ ） A．（1，2） B．（1，3） C．（2，3） D．（3，+）

5．在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则PBPC的最大值为（ ） A．

16 52B．

236 5C．

246 52D．

56 56．已知圆C1：x+y−kx+2y=0与圆C2：x+y+ky−2=0的公共弦所在直线经过定点P，且点P在直线mx−ny−2=0上，则mn的取值范围是（ ）

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A．(−,1

B．1,1 4C．,+

14D．−,

417．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是（ ） A．A，M，O三点共线 B．M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 8．若关于x的方程2x−x−mx−3=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．−234,− 234 3

B．−34,−23 C．−,−

D．−,−−,+

2334

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x＞3”，则下列结论正确的是（ ） A．A与B互斥 B．A与B对立 C．PBC=()1 3 D．A与C相互

10．已知函数f(x)=Asin(x+)（0，A0），若x=且f(x)的最小正周期为，则（ ） А．A=f3为f(x)的一个极值点，

 3

B．=k−6（kZ）

C．f(x)的图象关于点（

7，0）对称 12D．fx+为偶函数 311．在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面AED1，则（ ） A．点F的轨迹是一条线段 B．直线A1F与BE可能相交 C．直线A1F与D1E不可能平行 D．三棱锥F−ABD1的体积为定值 12．已知正数x，y，z满足3x=4y=12z，则（ ） A．

111+= xyzB．6z3x4y C．xy4z

2D．x+y4z

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x=2+i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+ax+5=0的一个根，则实数a的值为________．

14．已知函数f(x)=x+3x，若正数a，b满足f(4a)+f(b−9)=0，则值为________．

11+的最小abx2y2=1上，O为坐标原点，直线OA与OB的斜率之积为15．已知点A，B在椭圆C：+631−，设OP=OA+OB，若点P在椭圆C上，则2+2的值为________． 21+lnx16．已知函数f(x)=，若对x1,x2(1,+)，x1x2，都有

xf(x1)−f(x2)klnx1−lnx2，则k的取值范围是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=27，bsinB+C=asinB． 2（1）求角A的值；

（2）在①MC=2MB，②S△ABM=3，③sin∠MBC=3这三个条件中任选一个，补充在下7面的横线上，并解答下列问题．若M为AC边上一点，且MA=MB，_______，求△ABC的面积S△ABC．

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18．（本小题满分12分）

设数列an的前n项和为Sn，已知a1=−9，且4Sn+1=3Sn−9． 4（1）求数列an的通项公式；

（2）设数列bn满足3bn+(n−4)an=0，记bn的前n项和为Tn，若Tnbn对任意

nN恒成立，求的取值范围．

19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，AD⊥平面PAB，PA⊥PB，E为AD的中点．

（1）若点M在线段PB上，且直线EM∥平面PCD，确定点M的位置； （2）若AP=AD，AB=2AD，求平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．

DEAMP

CB

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20．（本小题满分12分）

已知F为抛物线C：x=2py（p0）的焦点，直线l：y=2x+1与C交于A，B两

2点．且|AF|＋|BF|=20． （1）求C的方程；

（2）设动直线m平行于直线l，且与C交于M，N两点，直线AM与BN相交于点T，证明：点T在一条定直线上． 21．（本小题满分12分） 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对p1（0p11）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为p1，亮起绿灯的概率为1−p1．随后若第n（nN）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为

1，3亮起绿灯的概率为

22；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿33灯的概率为

1． 31，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和2（1）若输入p1=数学期望；

（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（

10101，）内，则玩20212具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入p1=次歌？

1，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几3第５页，共１２页

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)=lnx，g(x)=x−x+1．

2（1）求函数h(x)=f(x)−g(x)的单调区间；

（2）若直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，求直线l的条数．

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第７页，共１２页第８页，共１２页第９页，共１２页第１０页，共１２页第１１页，共１２页第１２页，共１２页