2017年广东省普通高校本科插班生招生考试 - 副本

2017年广东省普通高等学校本科插班生招生考试

《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目

要求）

1、下列哪个式子是不正确的 A.

nlimen0 B. lime1

n11nx11 D. lim(1n)ne C. lim2n0x1x12、已知函数参数方程为xtarctant，yln(1t)，则

2dydxt2

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 3、设

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)，则曲线yf(x)在(a,b)内平行于x轴的切线

A.仅有一条 B.至少有一条 C.有两条 D.不存在 4、已知

21xf(x)dx4，则30f(x1)dx

A．2 B.4

C. 8 D.0 5、已知

11dx01x2f(x,y)dy，转换成极坐标的形式

A．

2o1d1f(rcos,rsin)drd B.000f(rcos,rsin)rdr

C.

201d10f(rcos,rsin)rdr D.d0f(rcos,rsin)rdr

2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当x0时，

f(x)2x，则limsin3x 。

x0f(x)7、

p1，则11dx pxy1dxdy， 2xx8、已知函数zz(x,y)具有二阶连续偏导数，且dz

2z则 。 xy9、二阶齐次常系数微分方程y9y0的通解y 。

10、

1和为 。 n1n(n1)三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

e3x3x111、计算极限lim。 x01cosx12、yxx(x0)，求y。 13、已知

2f(x)x1(t1)21dt，求f(x)的凹凸区间和拐点。

14、求不定积分

3xcos(x2)dx。

zz 。 xy15、(xy)ztanz0，求16、求

32xD:yx,x1,y0。 ，中edD17、已知曲线D经过点(0,1), 且曲线上任意一点的切线斜率都为2x程。

y,求曲线D的方

14n18、判断级数(2)的收敛性。

n!n1n四、综合题（大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19、已知函数f(x)1x1x2. （1）求yf(x)的水平渐近线方程；

（2）求由yf(x),x0,x1,y0所围成图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积。 20、已知函数f(x)arctan（1）证:当x1, x10,f(x)f()恒成立；

x2（2）求f(x)x在[0,) 上有几个实根。

2017年广东省普通高校本科插班生招生考试

《高等数学》试题答案及评分参考

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、C 2.D 3.B 4.C 5. B

二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）

6、

31132 7、p1 8、x3xx2 9、C1eC2e三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）

e3x3x1e3x3x13e3x3x33e3x11、limx01cosxlimx01limlim9。2x0x02xx112、yxx2ex2lnx,

故yex2lnx(2xlnxx21x)xx2(2xlnxx)xx21(2lnx1) 。

13、

f(x)(x1)21 , f(x)2(x1)x12(x1)21(x1)2 ,

1令

f(x)0 ，解得x1 .

当x1 时,f(x)0 ；当x1 时, f(x)0 ,

故函数f(x) 的凹区间为(1,) ,凸区间为 (,1) ,拐点为(1,0) 。

14、

xcos(x2)dxxdsin(x2)xsin(x2)sin(x2)dx

xsin(x2)cos(x2)C

15、令F(x,y,z)(xy)3ztanz,则 Fx3(xy)2,Fy3(xy)2,Fz1sec2z,

故zxFx3(xy)2zFy3(xy)2Fz,yF2,

z1sec2zsecz1因此zz3(xxyy)21sec2z3(xy)2sec2z10. 、1 10

16、积分区域D如图所示，由被积函数的特点选择先y后x的积分，即

D:0x1,0yx2. 则

eddxexdyexyD000x31x2313x20dx

1x3 xedxe0312x310

1(e1) 317、设曲线D的方程为yy(x),由题可知y2x阶线性微分方程，由其通解公式得 y1dxdxe(2xedxC)

xy, 变换为yy2x, 这是一个一

e e e(2xexdxC) (2xdexC) (2xex2exdxC)

xxx 2x2Ce（C 为任意常数）， 又由y(0)1,可知C3 ，即y2x23ex。

14n14n18、(2)2 ，

nn!nn!n1n1n1n14n4n1n!4,limlimnlim01 ， 令nnnnn!n(n1)!4n1 可知级数

4n 收敛， n1n! 而级数

1为p1 的p 级数，可知其收敛， 2n1n 故由级数的基本性质可知原级数收敛。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）

111x19、（1） limf(x)limlimx1 ，

2xxx11x12x 故函数yf(x)的水平渐近线方程为y1； （2）当0x1时, Vxf(x)0 ，故所求旋转体体积为

)2dx

(0111x1x21x22xdx 201x (101dx2xdx)

01x21 (1ln(1x2)10)

(1ln2) 。 20、（1）令F(x) F(x)11f(x)f()arctanarctanx ，

xx1(11 )22x1x1x211 20， 2x11x1 则可知F(x)C ，C 为常数。 当x1 时，F(1)Cf(1)f(1)442，

1F(x)f(x)f() 故当x0时，恒成立；

x2 （2）令g(x)f(x)x,则g(x)(arctan 故g(x) 在[0,) 上单调递减。又

11x)10 ， 2x1x

limx0g(x)lim(arctanx01x)0 ， x2 limg(x)lim(arctanxx1x)， x 则g(x)0在[0,)上有且仅有一个实根， 即

f(x)x在[0,)上只有一个实根。