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专题训练(四) 确定一次函数表达式的六种方法
► 方法一 根据一次函数的定义确定 1．已知关于x的函数y＝(2m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当m为何值时，这个函数为一次函数？
2．已知y＝(m－1)xm－3＋2是关于x的一次函数，并且y的值随x值的增大而减小，求此一次函数的表达式．
► 方法二 根据一次函数的性质确定
3．某一次函数的图象过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x值的增大而减小，请写出符合上述条件的一个函数表达式：____________．
4．已知一次函数y＝(1－2m)x＋m－2，若函数值y随x值的增大而减小，并且函数的图象经过第二、三、四象限，m是整数，求此一次函数的表达式．
► 方法三 根据两点坐标(两对对应值)确定
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5．已知一次函数y＝kx＋b在x＝3时，y的值为5，在x＝－4时，y的值为－9，求这个一次函数的表达式．
6．直线l与直线y＝2x＋1的交点的横坐标为2，与直线y＝－x＋2的交点的纵坐标为1，求直线l对应的函数表达式．
► 方法四 利用表格信息确定
7．根据表内数据，求变量y与x之间的函数表达式．
x y
► 方法五 根据物理知识及生活经验确定
1 5 2 8 3 11 4 14 … … 2 / 8
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8．一根弹簧原长12厘米，它所挂物体的质量不能超过15千克，并且每挂1千克重物，1
伸长厘米，写出挂重物后的弹簧的长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数表达
2式．
9．为更新果树品种，某果园计划购进A，B两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图4－ZT－1所示的函数关系．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
图4－ZT－1
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► 方法六 根据图形与坐标轴围成的三角形的面积确定
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10．如图4－ZT－2，一次函数的图象经过点(，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积
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为，求出这个一次函数的表达式． 4
图4－ZT－2
11．已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y＝kx＋b(k≠0)经过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分．
(1)若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；
(2)若△AOB被分成的两部分的面积之比为1∶5，求k和b的值．
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详解详析
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1.解：（1）由正比例函数的定义，有1－3m＝0且2m－1≠0，得m＝，m≠，∴当m＝
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时，y＝（2m－1）x＋1－3m为正比例函数. 3
1
（2）由一次函数的定义知，当m≠时，y＝（2m－1）x＋1－3m为一次函数.
22.解：∵y＝（m－1）xm－3＋2是关于x的一次函数，∴m－3＝1，且m－1≠0，解得m＝±2.
又∵y的值随x值的增大而减小，∴m－1＜0，∴m＝－2，∴此一次函数的表达式是y＝－3x＋2.
3.[答案] y＝－x＋1（答案不唯一）
[解析] 因为y随x的增大而减小，所以k＜0，不妨设y＝－x＋b.把x＝－1，y＝2代入，得b＝1，所以函数表达式为y＝－x＋1.
1
4.解：根据一次函数的性质，函数值y随x值的增大而减小，得1－2m＜0，解得m＞. 2函数的图象经过第二、三、四象限，说明图象与y轴的交点在x轴下方，即m－2＜0，解得m＜2，
1
所以m的取值X围为＜m＜2.又因为m是整数，所以m＝1，故此一次函数的表达式为y
2＝－x－1.
5.解：由已知条件当x＝3时，y＝5，得5＝3k＋b.
由已知条件当x＝－4时，y＝－9，得－9＝－4k＋b，联立解得k＝2，b＝－1， 故这个一次函数的表达式为y＝2x－1.
6.解：设直线l与直线y＝2x＋1的交点为A，与直线y＝－x＋2的交点为B. 把x＝2代入y＝2x＋1，得y＝5，即点A的坐标为（2，5）；把y＝1代入y＝－x＋2，得x＝1，即点B的坐标为（1，1）.
2k＋b＝5，设直线l对应的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.把A，B两点的坐标代入，得
k＋b＝1，k＝4，
解得
b＝－3，
2
2
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∴直线l对应的函数表达式为y＝4x－3.
7.解：由表内数据可知，变量y是随变量x均匀变化的，所以y是x的一次函数，设y＝kx＋b（k≠0），把x＝1，y＝5，x＝2，y＝8分别代入，得
k＋b＝5，k＝3，
解得 2k＋b＝8，b＝2，
所以y＝3x＋2. 当x＝3时，y＝11；
当x＝4时，y＝14，与表格信息相符， 所以y与x之间的函数表达式为y＝3x＋2. 1
8.解：y＝x＋12（0≤x≤15）.
29.解：（1）当0≤x＜20时，
∵图象经过点（0，0）和（20，160），
∴设y＝k1x（k1≠0），把（20，160）代入，得160＝20k1，解得k1＝8； 当x≥20时，设y＝k2x＋b（k2≠0），
20k2＋b＝160，把（20，160）和（40，288）代入，得
40k2＋b＝288，k2＝，
解得
b＝32，
∴y关于x的函数表达式是y＝{8x（0≤x<20），＋32（x≥20），其中x为整数.
x≤35，（2）依题意得
x≥45－x，
解得≤x≤35，
此时y＝＋32.设总费用为z元. 依题意得z＝y＋7（45－x）＝－＋347. ∵－＜0，
∴z随x的增大而减小. ∵≤x≤35，且x为整数，
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∴当x＝35时，z最小，此时z＝－×35＋347＝326，45－x＝10，
∴当购买A种树苗10棵，B种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元. 10.解：设一次函数的图象与y轴的交点为（0，m）. 1525
由已知得··m＝，
224解得m＝5，
5
即一次函数的图象过点（，0），（0，5）.
2
5k＋b＝0，
设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0），则2
b＝5，
k＝－2，
解得
b＝5，
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋5.
11.解：（1）根据题意，得A（2，0），B（0，2），如图①. 由题意易知直线y＝kx＋b经过点C（1，0），B（0，2），
k＋b＝0，代入得
b＝2，k＝－2，
解得
b＝2.
（2）如图②，设直线y＝kx＋b与OB交于点M（0，h），
1
由题意，得S△AOB＝2，S△OMC＝S△AOB，
612
∴S△OMC＝，∴h＝.
33
经过点M作直线MN∥OA，交AB于点N， 则S△OMC＝S△CAN. 2
设N（a，），
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2
∵N（a，）在直线y＝－x＋2上，
3442∴a＝，∴N（，）.
333
242∵直线y＝kx＋b经过M（0，），C（1，0）或经过N（，），C（1，0），
3∴b＝23，或43
k＋b＝23， k＋b＝0，k＋b＝0，解得k＝－2
3，或k＝2，b＝2
b＝－2.
3
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