第ｌ６卷第４期 北京工业职业技术学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢＥＩＪＩＮＧ ｅｏＬＹＴＥＣＨＮＩＣ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｎｏ．４ Ｖｏ１．１６ ０ｃｔ．２０１７ ２０１７年１Ｏ月 谐振子与连续弹性介质质元能量特征对比分析 郭彦省 （北京工业职业技术学院基础教育学院，北京１０００４２） 摘要：以连续弹性棒质元和弹簧振子为例，从弹簧振子与弹性棒质元受力分析入手，假设介质连续、均匀、 各向同性、无初始应力，依据广义胡克定律和微小形变理论，揭示在连续介质中简谐波传播能量的本质特征 与基本规律。通过２种振动对比，深入理解简谐振动和简谐波质元振动的差异。 关键词：简谐波；弹性介质；能量特征；谐振动 中图分类号：０３４７．４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６５５８（２０１７）０４—５２一Ｏ３ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１—６５５８．２０１７．０４．０１２ Ｃｏｎｔｒａｓｔｉｖｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｅｎｅｒｇｙ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ Ｈａｒｍｏｎｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ａｎｄ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｅｌａｓｔｉｃ Ｍｅｄｉｕｍ ＧＵ０ Ｙａｎｓｈｅｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｅｌａｓｔｉｃ ｒｏｄ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｐｒｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｏｒ ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ，ｓｔａｒｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｎａｌｙ— ｓｉｓ ｏｆ ｓｐｒｉｎｇ ｆｏｒｃｅ ａｎｄ ｅｌａｓｔｉｃ ｒｏｄ ｅｌｅｍｅｎｔ，ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｄｉｕｍ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｕｎｉｆｏｒｍ，ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ，ｗｉｔｈｏｕｔ ｉｎ－ ｉｔｉａｌ ｓｔｒｅｓｓ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｏｏｋｅ ｇ ｌａｗ ａｎｄ ｍｉｃｒｏ—ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｂａｓｉｃ ｌａｗｓ ｏｆ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｉｓ ｒｅｖｅａｌｅｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｗａｖｅ ｉｓ ｄｅｅｐｌｙ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｉｍｐｌｅ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｗａｖｅ；ｅｌａｓｔｉｃ ｍｅｄｉｕｍ；ｅｎｅｒｇｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；ｈａｒｍｏｎｉｃ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ０ 引言 计算２个振动系统的动势能，揭示连续弹性介质中 简谐波传播的能量特征。 １ 弹簧振子的能量特征 由于简谐振动图像与简谐波质元振动图像、波 动图像均为余弦曲线，且质元与振子均受到的弹性 力作用，但介质质元的动、势能与简谐振动系统的明 显不同。在研究连续弹性介质中传播的能量问题 时，质元的动能势能相等，机械能不守恒；而简谐振 动系统的动能、势能相互转化，机械能守恒。之间的 差异不易理解。通过对振子和质元受力分析，分别 收稿日期：２０１７—０９—１６ 以水平方向振动的弹簧振子为例，振子只受质 量可以忽略的弹簧弹力作用，由弹力提供恢复力，在 弹性限度内，恢复力与位移成正比，方向相反，即 Ｆ＝一 （１） 式（１）中，，为由弹簧弹力提供的恢复力；ｋ为 基金项目：２０１７年北京工业职业技术学院青年基金课题（ＢＧｚＹＫＹ２Ｏ１７５２Ｑ）。 作者简介：郭彦省（１９６９一），女，河北辛集人，＿Ｔ学博士，副教授，主要从事物理教学与地球物理勘探研究工作。 第４期 郭彦省：谐振子与连续弹性介质质元能量特征对比分析 弹性棒受到的应力 与应变成正比，即 Ｆ ａＹ （２） ５３ 弹簧劲度系数；Ｙ为振子离开平衡位置的位移。 其 振动图像为余（正）弦曲线，运动方程为 ＝ ＣＯＳ（ ｏｔ＋ ） （８） 在ｔ时刻、位移为Ｙ时，速度Ｖ，加速度ａ，动能 这里Ｙ为杨氏模量，于是在 处（ 无穷小）受 ，势能Ｅ。，机械能Ｅ分别为 ＝ ＝～ Ａｓｉ～ ｏＡｓｉｎ（￣ｎ ０ｏＨ ＋ ） （３）（ｊ ｄｖ口＝ ＝一４ＡＣＯＳ（（ｃＪ。 ＋ ）＝一 。２ｙ （４） ＝÷砌 ＝ １ ０２ＡＡ２ｓｌ￣ｎ （０９０ ＋ ） （５） Ｅ ＝÷ ＝专Ｍ ｃｏｓ （∞ｏＨ ） （６） ｆＶ－ 又由于∞。 ＼／／ ，所以 Ｅ＝Ｅ ＋Ｅｐ＝÷Ｍ （７） 由此可以看出，振动系统的动能和势能的位相 差为７ｒ／２…，而在每一时刻振动系统的动能和势能 均随时间而变化，但总能量保持不变。即弹簧振子 是机械能守恒的封闭保守系统 Ｊ，是恢复力和惯性 共同作用的结果，圆频率 。由系统本身性质决 定 。振动过程中振动物体可看做是质点，没有形 状的改变，孤立地看振子的振动，弹簧的弹力对振动 物体而言是外力，其做功，使弹簧的势能与振动物体 的动能相互转化。不是振动物体的能量守恒，而是 振动系统的能量守恒，振动物体能量不守恒。 ２连续弹性介质的能量特征 ２．１ 弹性媒介质元受力分析 为了更深人理解弹性媒介质元所受恢复力情 况，以弹性棒中质元运动为例，这里假设棒中传播的 波为纵波，建立如图１所示物理模型。研究对象为 ［ ， ＋△ ］间的质元。 —＋ ．＿ ）．一． 卜 ｘ ｘ＋ｄｘ ｘ＋Ａｘ 图１ 弹性棒纵波质元模型 设棒的截面积为５，质元长度为 ，为有限小 量，质元体积ＡＶ为ＳＡｘ；ｄｘ为无限小量，棒密度为 Ｐ。 为质元的平衡位置，在ｔ时刻其位移为Ｙ， ＋ 的位移为Ｙ＋ｄｙ， 伸长了ｄｙ，棒伸长是由于受 到拉伸力的作用，如图１所示。根据广义胡克定律， 到的拉力Ｆ（ ）为 ） Ｌ （９） 同理在 ＋Ａｘ处受到的拉力Ｆ（ ＋Ａｘ）为 ） （１０） 缸 由式（９），式（１Ｏ），得 ＡＦ＝ （ ＋Ａｘ）一Ｆ（ ）＝ ｓ ｄ．ｓ ｄ＝．ｓｌ， ｘ ｌ一血…） ： ＋ ＋ ｘ ｌ ： Ｏｘ又由牛顿第二定律得出质元受到的合力为 △Ｆ＝，ｎ。 Ｐ，ｘｖ￣ｆ＝ｐｓ△ Ｏａ＇ ｙｚ （１２） 由式（１１）、式（１２），得到简谐波一维波动方程 Ｏｔ － ： Ｐ ・ Ｏｘ２（１３） 令 ：、／ 可以得到一维平面简谐波的波动方 程 ａ ２一 以 ＝ （１４）＼ 这里，／ｔ为简谐振动在弹性介质中的传播速率。 若／Ｚ取正（负）值说明沿 正（负）方向传播。波传 播速度与弹性模量、密度有关。Ｙ反映介质的弹性， Ｐ与质量有关，反映质元的惯性大小。 对（１４）求解，可得到一维平面简谐波的动力学方程 ｙ 。ｓ（ （ 一詈）＋ ） （１５） 为振源振动圆频率。从式（９）～式（１１）可以 看出，对截面固定的弹性棒质元而言质元受到相邻 质元弹性力的合力提供恢复力，大小－ｆ 成正比， 某一位置 处受到的弹性力与形变 成正比 。即 在平衡位置警最大，弹力最大，但 最小，质元整体 受到合力为零，即恢复力为零；在最大位移处， 最 小，为零，但 最大，质元整体受到合力最大，即恢 ｄ 复力最大。结合振动传播速度“的计算公式，揭示 了质元之所以做简谐振动的本质是恢复力和惯性共 ５４ 同作用的结果。 北京工业职业技术学院学报 第１６卷 在刊 （即 ＿÷ｏ，△ 一０），有△ Ａｘ＝ｄｙ／ｄｘ， 得到 ２．２连续弹性介质质元的动能 由（１５）式可以求出 处质元振动速度 ，动能 分别为 Ｅ ‘＝ｙｓＡ ｓｉｎ （、 （ ＼ 似，ｔ－ｘⅡ） ，＋ ）（ ２ｏ） 厂 ＝ ＝一 ｓｉｎ 一詈）＋ ） （ ６） Ｅ ＝ １△１ ＝ 删又由于“＝、／ ，可以得出质元的动势能同步 Ｐ △ ２ ２ｓｉｎ２（∞（ 一詈）＋ ） （１７） 变化，大小相等。 ２．４连续弹性介质质元的机械能 质元的机械能为动势能之和。 由功能关系可知，质元从最大位移向平衡位置 运动过程中，恢复力做正功，动能增加，到底平衡位 置具有最大动能，由于惯性远离平衡位置时，恢复力 Ｅ＝Ｅｐ＋Ｅ ＝Ａｍｚｏ Ａ２ｓｉｎ２（ （ｆ＿詈 ，）（２１） 从中可以看出，机械能与动势能同步变化，每一 质元的能量不守恒。由于质元的势能和动能同时生 长、同时输出，质元的动能和势能不会相互转化。动 做负功，动能减小，在最大位移处动能减小到零。 ２．３连续弹性介质质元的势能 对于长度为 的质元，由（８）式可以得到 Ｆ（ ）＝ ＝ｋａｙ （１８） 能或势能总为机械能的一半。通过弹性力做功，将 振源的能量辐射到弹性介质，沿介质能量被传递出 去。 对于微小形变而言，△ｙ较小，Ｓ基本不变，因而 ＹＳ／Ａｘ近似为一常数，可用ｋ表示 Ｊ。质元因发生 弹性形变而具有势能，势能的大小与形变大小有关， ３谐振子与连续弹性介质质元动力学和能量特征 对比 从以上分析可以看出，弹簧振子中的振子可以 看做质点，其质量为ｍ，而介质质元由于有形变，不 形变越大，势能越大。类比弹簧的弹性势能公式Ｅ。 ＝÷ 求出质元的弹性势能 ＝ 可以看做质点，其长度为 ，质量为Ａｍ。为便于理 解２种振动的能量特征，现将振子与质元的受力、能 １ ＪＩ｝（ ）２＝ １ ＹＳ Ａ ＝丢ｙＳ（ ） （１９） 量对比如表１所示。表１ 谐振子与质元受力及能量特征对比 ４结论 化均是由弹力Ｆ做功引起的，弹簧的形变位移等于 振动位移，故动势能可以相互转化，机械能守恒，弹 从动力学视角看，尽管２个振动物体均受弹力 作用，但谐振子由弹力Ｆ提供恢复力，质元由△Ｆ提 供恢复力；从功能关系看，谐振子和质元的动势能变 簧振子为孤立保守系统；质元的动能变化是由恢复 （下转第６ｌ页） 第４期 李晋芳，等：一类有奇异势能的系统周期解的存在性 ６１ 当ｉ∈｛１，２，…，Ⅳ｝＼，时，有： 在定理１的结论中，给出了周期解的一个下界， Ｉ （￡）Ｊ＝｝ ∞ ） ≤ ｓ） ｌ ） ）］ｆ 也存在一个上界，这个上界与Ｏ／的值有关。 ｌ 参考文献 （２２）：９１５—９１８． ≥ｙ＋，另外，通过定理１的证明，容易得到周期解 ［１］ＰＯＩＮＣＡＲ６ Ｈ．Ｓｕｒ ｌｅｓ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｐ６ｒｉｏｄｉｑｕｅｓ ｅｔ ｌｅ ｐｒｉｃｉｐｌｅ ｄｅ ≤ｃ２“Ｊ Ｇ（￡，ｓ）Ｉ ｆ ｌ ｄｓ＋ｍａｘ ｌ （￡）Ｉ ≤ｃ２ Ｒ ＋ｍａｘ Ｉ ｙ （ ）Ｉ ｍｏｉｎｄｒｅ ａｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｃａｄｅｍｉｅ ｄｅｓ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ Ｓｅｒｉｅ，１ ８９６ ［２］ＧＯＲＤＯＮ ＷＢ．Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｓｔｒｏｎｇ ｆｏｒｃｅｓ．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ 取 充分大，可以使得Ｉ（ ） （ｔ）Ｉ≤ｃ２ 尺卜 ＋ｍａｘ１３＇ｉ（ ）Ｉ≤尺不等式成立。 即可证明 （Ｋ）ＣＫ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９７５（２０４）：１１３—１３５． ［３］ＢＲＥＺＩＳ Ｈ．Ａｎ￣ｙｓｅ ｆｏｎｃｔｉｏｎｎｅｌｌｅ［Ｍ］．Ｐａｒｉｓ：Ｍａｓｓｏｎ， １９８３． 由引理（Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理）可知，式（１）存 在一个周期解。 ３ 结论 ［４］郭大钧．非线性泛函分析［Ｍ］．济南：山东科学技术出版 社，２００１（８）：１５６—１６９． ［５］ＭＡＲＴＩＮ ＲＨ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｂａｎａｃｈ ｓｐａｃｅｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ａｎｄ Ｓｏｎｓ， １９７６（２０）：２０２—２０４． 以上主要应用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，得到定理 １和定理２两个结论。 （责任编辑：刘莉宏） 和和和和和和扣 ＋叶和和 和和和和＋叶 和斗叶扣 和 和和和 和 扣和 和和和 和和 （上接第５４页） 力△Ｆ做功引起的，而势能变化是由弹力Ｆ做功引 ［２］徐望枢，丘季龙．关于简谐振动定义的讨论［Ｊ］．黄淮学 刊（自然科学版），１９９２（ｓ１）：７７—８０． 起的，质元的形变不再等于振动位移，而与振动位移 有￣ｒ／２的相位差，使得质元的动能、势能和机械能 同步变化，质元对机械能的传播是周期性的，机械能 不守恒。 参考文献 ［３］Ｆ Ｓ克劳福德．伯克利物理学教程：波动学［Ｍ］．卢鹤绂 译．第３卷．北京：科学出版社，１９８１． ［４］叶帆．关于连续介质中横波的能量探讨［Ｊ］．大学物理． ２００８，２７（９）：１９—２１． ［１］龚普生．波与振动的联系和区别［Ｊ］．湖南师范大学自然 科学学报，１９５７（２）：３５—４５． ［５］张三慧．大学物理学：热学光学量子物理［Ｍ］．第３版． 北京：清华大学出版社，２００９． （责任编辑：刘莉宏）
