1、随机变量是一个从样本空间Ω映射到实数集合R的函数。
2、随机变量的分布函数： F X ( x ) = P ( X ≤ x ) F_X(x)=P(X \leq x) FX(x)=P(X≤x)，称为X服从 F X ( x ) F_X(x) FX(x)，记为 X ∼ F X ( x ) X \sim F_X(x) X∼FX(x)。
概率密度函数一定满足： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1
连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数，但分布函数在R上是连续函数的随机变量不一定是连续型随机变量。
连续型随机变量的单点概率为0，f(x)不是其单点概率。
3、分布函数的性质：
利用分布函数计算随机变量在不同区间上的概率：
P
(
a
<
x
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
P
(
x
=
a
)
=
P
(
x
≤
a
)
−
P
(
x
<
a
)
=
F
(
a
)
−
lim
x
→
a
−
F
(
x
)
=
F
(
a
)
−
F
(
a
−
)
P
(
a
≤
x
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
−
)
\begin{aligned} P(a<x\leq b) & = F(b)- F(a)\\ P(x=a) &=P(x\leq a)-P(x < a) =F(a)- \lim_{x \to a-}F(x)=F(a)-F(a-)\\ P(a \leq x \leq b) & = F(b) -F(a-) \end{aligned}
P(a<x≤b)P(x=a)P(a≤x≤b)=F(b)−F(a)=P(x≤a)−P(x<a)=F(a)−x→a−limF(x)=F(a)−F(a−)=F(b)−F(a−)
4、计算随机变量分布函数唯一且最有效的方法：利用定义
F
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
F(x)=P(X \leq x)
F(x)=P(X≤x)
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