代码随想录Day46 7. 回文子串，516.最长回文子序列，动态规划最强总结篇！

1.

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

• 输入："abc"
• 输出：3
• 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

• 输入："aaa"
• 输出：6
• 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：输入的字符串长度不会超过 1000 。

思路

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

动规五部曲：

如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

1. 确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
• 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

1. dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

1. 确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

1. 举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

双指针法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

这两种情况可以放在一起计算，但分别计算思路更清晰，我倾向于分别计算。

动态规划

public class Palindromic_Substring {
    public int countSubstrings1(String s) {
        char[] chars = s.toCharArray();//将字符串s转换为字符数组chars。
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];//创建一个二维布尔数组dp，其中dp[i][j]表示从索引i到j的子串是否是回文。
        int result = 0;//result变量用来存储回文子串的数量。
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {//从后向前遍历字符串，这样可以确保在检查子串时，我们总是从中心向外围扩展。
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (chars[i] == chars[j]) {//如果当前字符chars[i]和chars[j]相同，我们有两种情况：如果子串长度为1或2，那么它显然是回文，dp[i][j]设置为true，并且result加1。如果子串长度大于2，我们检查dp[i + 1][j - 1]是否为true，如果是，那么dp[i][j]也为true，并且result加1。
                    if (j - i <= 1) {
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) {
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;//遍历完成后，result中存储的就是所有回文子串的数量。
    }
  
}

• 时间复杂度：O(n^2)，其中n是字符串s的长度。这是因为我们需要遍历字符串的每个字符对。
• 空间复杂度：O(n^2)，由于我们使用了一个二维布尔数组dp来存储中间结果。

public class Palindromic_Substring {
  
    public int countSubstrings2(String s) {
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        int res = 0;
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {//从后向前遍历字符串。如果当前字符相同，并且子串长度为1或2，或者dp[i + 1][j - 1]为true，那么dp[i][j]设置为true，并且res加1。
            for (int j = i; j < s.length(); j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {
                    res++;
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return res;//遍历完成后，res中存储的就是所有回文子串的数量。
    }
  
}

• 时间复杂度：O(n^2)，与方法一相同。
• 空间复杂度：O(n^2)，同样使用了一个二维布尔数组dp。

中心扩散法

public class Palindromic_Substring {
  
    public int countSubstrings3(String s) {
        int len, ans = 0;//定义变量ans来存储回文子串的数量。
        if (s == null || (len = s.length()) < 1) return 0;
        for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {//遍历字符串，每次以一个字符或两个相邻字符为中心，向两边扩展，检查回文子串。
            int left = i / 2, right = left + i % 2;//left和right分别表示回文子串的左右边界。
            while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {//只要left和right对应的字符相同，就扩展边界并增加ans。
                ans++;
                left--;
                right++;
            }
        }
        return ans;//遍历完成后，ans中存储的就是所有回文子串的数量。
    }
    //找出字符串s中最长的回文子串。
    
}

• 时间复杂度：O(n^2)，因为我们需要对每个可能的中心进行两次遍历。

• 空间复杂度：O(1)，只需要几个变量来存储状态。

2.

给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。

示例 1: 输入: "bbbab" 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2: 输入:"cbbd" 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 只包含小写英文字母

思路

我们刚刚做过了 ，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

回文子串，可以做这两题：

• 7.回文子串
• 5.最长回文子串

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

1. 确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如图： 

（如果这里看不懂，回忆一下dp[i][j]的定义）

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

1. dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

1. 确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

1. 举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

public class Longest_Palindromic_Subsequence {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];//创建一个二维数组dp，其大小为(len + 1) x (len + 1)，其中len是字符串s的长度。这个数组用于存储子问题的解。
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {//初始化dp[i][i] = 1，因为单个字符总是回文的，所以长度为1的子序列的最长回文子序列长度为1。
            dp[i][i] = 1;
            for (int j = i + 1; j < len; j++) {//外层循环从后向前遍历字符串s，这样可以确保在检查子串时，我们总是从中心向外围扩展。
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {//内层循环也是从后向前遍历字符串s。
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;//如果当前子串的首尾字符相同（s.charAt(i) == s.charAt(j)），则dp[i][j]的值是dp[i + 1][j - 1] + 2，因为我们可以在这个子串的最长回文子序列的基础上，加上这两个相同的字符。
                } else {//如果首尾字符不同，则dp[i][j]的值是dp[i + 1][j]、dp[i][j - 1]和dp[i + 1][j - 1]中的最大值，因为我们需要分别考虑不包含首字符、不包含尾字符和不包含这两个字符的情况。
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];//遍历完成后，dp[0][len - 1]中存储的就是整个字符串s的最长回文子序列的长度。
    }
    
}

• 时间复杂度：O(n^2)，其中n是字符串s的长度。这是因为我们需要遍历字符串的每个子串。
• 空间复杂度：O(n^2)，由于我们使用了一个二维数组dp来存储中间结果。

3.找出字符串s中最长的回文子串

public class Longest_Palindromic_Substring {
  
    //找出字符串s中最长的回文子串。
    public String longestPalindrome(String s) {
        int finalStart = 0;//定义变量finalStart、finalEnd和finalLen来存储最长回文子串的起始索引、结束索引和长度。
        int finalEnd = 0;
        int finalLen = 0;
        char[] chars = s.toCharArray();
        int len = chars.length;
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];//创建一个二维布尔数组dp。
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {//从后向前遍历字符串。
            for (int j = i; j < len; j++) {
                if (chars[i] == chars[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]))
                    dp[i][j] = true;//如果当前字符相同，并且子串长度为1或2，或者dp[i + 1][j - 1]为true，那么dp[i][j]设置为true。
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > finalLen) {
                    finalLen = j - i + 1;//如果dp[i][j]为true，并且子串长度大于finalLen，更新finalLen、finalStart和finalEnd。
                    finalStart = i;
                    finalEnd = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(finalStart, finalEnd + 1);//遍历完成后，返回从finalStart到finalEnd的子串，即为最长的回文子串。
    }
}

• 时间复杂度：O(n^2)，与longestPalindromeSubseq方法相同。
• 空间复杂度：O(n^2)，使用了一个二维布尔数组dp。

4.

关于动态规划，在专题第一篇就说了动规五部曲，而且强调了五部对解动规题目至关重要！

这是Carl做过一百多道动规题目总结出来的经验结晶啊，如果大家跟着「代码随想录」刷过动规专题，一定会对这动规五部曲的作用感受极其深刻。

动规五部曲分别为：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动规专题刚开始的时候，讲的题目比较简单，不少录友和我反应：这么简单的题目 讲的复杂了，不用那么多步骤分析，想出递推公式直接就AC这道题目了。

Carl的观点一直都是 简单题是用来 巩固方的。 简单题目是可以靠感觉，但后面稍稍难一点的题目，估计感觉就不好使了。

在动规专题讲解中，也充分体现出，这动规五部曲的重要性。

还有不少录友对动规的理解是：递推公式是才是最难最重要的，只要想出递归公式，其他都好办。

其实这么想的同学基本对动规理解的不到位的。

动规五部曲里，哪一部没想清楚，这道题目基本就做不出来，即使做出来了也没有想清楚，而是朦朦胧胧的就把题目过了。

• 如果想不清楚dp数组的具体含义，递归公式从何谈起，甚至初始化的时候就写错了。
• 例如在这道题目中，初始化才是重头戏
• 如果看过背包系列，特别是完全背包，那么两层for循环先后顺序绝对可以搞懵很多人，反而递归公式是简单的。
• 至于推导dp数组的重要性，动规专题里几乎每篇Carl都反复强调，当程序结果不对的时候，一定要自己推导公式，看看和程序打印的日志是否一样。

好啦，我们再一起回顾一下，动态规划专题中我们都讲了哪些内容。

动态规划基础

背包问题系列

打家劫舍系列

股票系列

子序列系列

动规结束语

关于动规，还有 树形DP（打家劫舍系列里有一道），数位DP，区间DP ，概率型DP，博弈型DP，状态压缩dp等等等，这些我就不去做讲解了，面试中出现的概率非常低。

能把本篇中列举的题目都研究通透的话，你的动规水平就已经非常高了。 对付面试已经足够！

这个图是 成员：，所画，总结的非常好，分享给大家。